Examkin

Soru

Zorluk: ZorÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
f(x)=(x−2)2⋅(x−1)⋅(x−5)(x−2)⋅(x−3)f(x) = \frac{(x-2)^2 \cdot (x-1) \cdot (x-5)}{(x-2) \cdot (x-3)}

olmak üzere,

f(x)≤0f(x) \leq 0

eşitsizliğini sa��layan xx pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    9
  2. 10Cevap
  3. C
    12
  4. D
    13
  5. E
    15

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 10'dur.
Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesini bulmak için öncelikle paydayı sıfır yapan değerlerin (x=2x = 2 ve x=3x = 3) çözüm kümesinde yer alamayacağı belirlenir. Ardından pay ve paydadaki ortak (x−2)(x-2) çarpanları sadeleştirilerek elde edilen ifade için işaret tablosu oluşturulur. Tabloda negatif olan bölgeler ve payı sıfır yapan değerler [1,2)∪(3,5][1, 2) \cup (3, 5] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar olan 1, 4 ve 5 toplandığında 10 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Paydanın sıfır olma durumunun belirlenmesi
x≠2x \neq 2 ve x≠3x \neq 3
Bölüm durumundaki eşitsizliklerde paydayı sıfır yapan değerler fonksiyonu tanımsız yapacağından çözüm kümesine dahil edilemez.
2
Ortak çarpanların sadeleştirilmesi ve yeni eşitsizliğin yazılması
x≠2x \neq 2 olmak üzere, (x−2)(x−1)(x−5)x−3≤0\frac{(x-2)(x-1)(x-5)}{x-3} \leq 0
İşaret incelemesini kolaylaştırmak amacıyla ortak çarpanlar sadeleştirilir, ancak başlangıçtaki tanımsızlık koşulu (x≠2x \neq 2) saklı tutulur.
3
Yeni ifadenin köklerinin bulunması ve işaret tablosunun oluşturulması
Kökler: x=1x = 1, x=2x = 2, x=5x = 5 (payın kökleri) ve x=3x = 3 (paydanın kökü). İşaret tablosunda sağdan sola doğru işaretler: (5,∞)→+(5, \infty) \rightarrow +, (3,5)→−(3, 5) \rightarrow -, (2,3)→+(2, 3) \rightarrow +, (1,2)→−(1, 2) \rightarrow -, (−∞,1)→+(-\infty, 1) \rightarrow +
Köklerin her biri tek katlı olduğundan, tablodaki her kökten geçildiğinde işaret değişir. Baş katsayıların çarpımı pozitif olduğundan en sağdan artı (+) işareti ile başlanır.
4
Çözüm kümesinin belirlenmesi ve pozitif tam sayıların toplanması
Çözüm Kümesi: [1,2)∪(3,5][1, 2) \cup (3, 5]. Pozitif tam sayılar: 1,4,51, 4, 5. Toplam: 1+4+5=101 + 4 + 5 = 10.
İfadenin sıfırdan küçük veya eşit olması istendiğinden negatif bölgeler seçilir. Eşitlik durumundan ötürü payın kökleri dahil edilirken, paydayı sıfır yapan x=2x = 2 ve x=3x = 3 değerleri kümeden çıkarılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerde Payda Köklerinin Hariç Tutulması ve Sadeleştirmede Tanım Kümesinin Korunması
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru