Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8 ve \int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir f fonksiyonu için \int_{1}^{2} f(x) … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{1}^{2} f(x) \, dx = 8

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin doğru değeri 6'dır.

Değişken değiştirme yöntemiyle

u = x^2 + 1

seçildiğinde

x \, dx = \frac{1}{2} \, du

olur. Sınırlar

x=1

için

u=2

x=2

için

u=5

olarak güncellenir. Bu durumda integral

\frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

şekline dönüşür. Verilen

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

bilgisi kullanılarak sonuç

\frac{1}{2} \cdot 12 = 6

olarak elde edilir.

İstenen integralde değişken değiştirme uygulamak için uygun dönüşümü belirleyin.

u = x^2 + 1

dönüşümü yapılır. Bu durumda her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

elde edilir. Buradan

x \, dx = \frac{1}{2} \, du

bulunur.

İntegral içerisindeki

x^2 + 1

ifadesinin türevi olan

2x

ifadesi (sabit katsayı farkıyla) integralin içinde çarpan olarak bulunmaktadır.

Belirli integralin sınırlarını yeni de��işken olan

u

'ya göre güncelleyin.

Alt sınır için:

x = 1 \Rightarrow u = 1^2 + 1 = 2

olur. Üst sınır için:

x = 2 \Rightarrow u = 2^2 + 1 = 5

olur.

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene uyarlanması gerekir.

Dönüşümü integralde yerine yazarak sonucu hesaplayın.

\int_{1}^{2} x \cdot f(x^2 + 1) \, dx = \int_{2}^{5} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{2}^{5} f(u) \, du

elde edilir. Verilen

\int_{2}^{5} f(x) \, dx = 12

değeri yerine yazıldığında:

\frac{1}{2} \cdot 12 = 6

bulunur.

Elde edilen yeni belirli integral, verilen ikinci integralin değerine bağlıdır.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulandığında integral sınırları da yeni değişkene göre güncellenmelidir.