Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Analitik düzlemde, y=x2−x+ky = x^2 - x + k parabolü ile y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkın mutlak değeri 1212 birim olduğuna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevap: -1

Cevap

k gerçek sayısı -1 olmalıdır.
Doğrunun eğimi 3 olduğundan, kesişim noktalarının ordinatları arasındaki fark, apsisleri arasındaki farkın 3 katına eşittir. Buradan apsisler farkının mutlak değeri 4 olarak bulunur. Kesişim noktalarının apsislerini veren ortak çözüm denklemi x2−4x+k+1=0x^2 - 4x + k + 1 = 0 olup, kökler farkı formülünden Δ=4  ⟹  12−4k=16  ⟹  k=−1\sqrt{\Delta} = 4 \implies 12 - 4k = 16 \implies k = -1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ve doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini elde edin.
x2−x+k=3x−1  ⟹  x2−4x+k+1=0x^2 - x + k = 3x - 1 \implies x^2 - 4x + k + 1 = 0 ikinci dereceden denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarının apsisleri, bu ortak çözüm denkleminin kökleri olan x1x_1 ve x2x_2 değerleridir.
2
Kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkı, apsisler farkı cinsinden yazarak analiz edin.
Kesişim noktaları A(x1,y1)A(x_1, y_1) ve B(x2,y2)B(x_2, y_2) olsun. Bu noktalar y=3x−1y = 3x - 1 doğrusu üzerinde bulundu��undan, y1=3x1−1y_1 = 3x_1 - 1 ve y2=3x2−1y_2 = 3x_2 - 1 olur. Ordinatlar farkının mutlak değeri: ∣y1−y2∣=∣(3x1−1)−(3x2−1)∣=3∣x1−x2∣|y_1 - y_2| = |(3x_1 - 1) - (3x_2 - 1)| = 3|x_1 - x_2| olarak bulunur. Soruda bu fark 1212 birim verildiğinden, 3∣x1−x2∣=12  ⟹  ∣x1−x2∣=43|x_1 - x_2| = 12 \implies |x_1 - x_2| = 4 elde edilir.
Doğru üzerindeki iki noktanın dikey uzaklığı (ordinat farkı), yatay uzaklıklarının (apsis farkının) doğrunun eğimi ile çarpımına eşittir.
3
Ortak çözüm denkleminde kökler farkı formülünü (∣x1−x2∣=Δ∣a∣|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}) kullanarak kk değerini hesaplayın.
x2−4x+k+1=0x^2 - 4x + k + 1 = 0 denkleminin diskriminantı Δ=(−4)2−4(1)(k+1)=12−4k\Delta = (-4)^2 - 4(1)(k+1) = 12 - 4k şeklindedir. Kökler farkı ∣x1−x2∣=12−4k1=4  ⟹  12−4k=4  ⟹  12−4k=16  ⟹  4k=−4  ⟹  k=−1|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{12 - 4k}}{1} = 4 \implies \sqrt{12 - 4k} = 4 \implies 12 - 4k = 16 \implies 4k = -4 \implies k = -1 bulunur.
Apsisler arasındaki farkın 4 birim olmasını sağlayan k parametresi, ikinci dereceden ortak çözüm denkleminin diskriminant bağıntısı yardımıyla belirlenir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının koordinat ilişkileri ve ortak çözüm denklemi

Alternatif Yöntem

Kökler farkı ∣x1−x2∣=4|x_1 - x_2| = 4 olarak belirlendikten sonra, (x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 özdeşliği kullanılabilir. Ortak çözüm denkleminden kökler toplamı x1+x2=4x_1 + x_2 = 4 ve kökler çarpımı x1x2=k+1x_1x_2 = k+1 değerleri yerine yazıldığında; 42=42−4(k+1)  ⟹  16=16−4(k+1)  ⟹  4(k+1)=0  ⟹  k=−14^2 = 4^2 - 4(k+1) \implies 16 = 16 - 4(k+1) \implies 4(k+1) = 0 \implies k = -1 elde edilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru