Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesinde tanımlı
f(x)={∣x2−a2∣x−a+5x,x<ax+8,x≥af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + 5x, & x < a \\ x + 8, & x \ge a \end{cases}
fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti vardır.

Buna göre, aa değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

a = 4
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin olması, bu noktadaki sağdan ve soldan limitlerinin eşit olmasını gerektirir. Soldan yaklaşıldığında x<ax < a olduğundan mutlak değerin içi negatiftir ve önüne eksi alarak çıkar. Sadeleştirme sonrası soldan limit 3a3a olarak bulunur. Sağdan limit ise doğrudan a+8a+8 değerini alır. Bu iki değer eşitlendiğinde 3a=a+83a = a + 8 denklemi çözülerek a=4a = 4 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
x→a−x \to a^- için soldan limiti inceleyelim.
lim⁡x→a−f(x)=3a\lim_{x \to a^-} f(x) = 3a
x→a−x \to a^- yaklaşımında x<ax < a ve a>0a > 0 olduğu için x2<a2x^2 < a^2 olur. Buradan x2−a2<0x^2 - a^2 < 0 elde edilir. Dolayısıyla mutlak değerli terim ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2 - a^2| = -(x^2 - a^2) olarak dışarı çıkar. İfade sadeleştirildiğinde:
lim⁡x→a−(−(x−a)(x+a)x−a+5x)=lim⁡x→a−(−(x+a)+5x)=−2a+5a=3a\lim_{x \to a^-} \left( \frac{-(x-a)(x+a)}{x-a} + 5x \right) = \lim_{x \to a^-} (-(x+a) + 5x) = -2a + 5a = 3a olur.
2
x→a+x \to a^+ için sağdan limiti inceleyelim.
lim⁡x→a+f(x)=a+8\lim_{x \to a^+} f(x) = a + 8
x→a+x \to a^+ yaklaşımında x≥ax \ge a kuralı geçerlidir. Fonksiyonun bu aralıktaki tanımı f(x)=x+8f(x) = x + 8 olduğundan limit değeri doğrudan a+8a + 8 olur.
3
Soldan ve sağdan limit değerlerini eşitleyerek aa parametresini bulalım.
a=4a = 4
Fonksiyonun x=ax = a noktasında limitinin var olması için soldan ve sağdan limitlerinin eşit olması gerekir. Buradan:
3a=a+8  ⟹  2a=8  ⟹  a=43a = a + 8 \implies 2a = 8 \implies a = 4 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren fonksiyonlarda kritik noktalarda limit incelenirken sağdan ve soldan limitlerin eşitliği kontrol edilir. Mutlak değerli ifadelerin sınır değerdeki işareti belirlenerek çarpanlara ayırma ve sadeleştirme adımları uygulanır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru