\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 4\cos^2(2x) denkleminin [0, \pi] kap… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 4\cos^2(2x)

denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı kaçtır?

Cevap: 2

Denklemin

[0, \pi]

kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin sayısı 2'dir.

Denklemin sol tarafı sadeleştirildiğinde

4\cos(2x) = 4\cos^2(2x)

eşitliği elde edilir. Bu eşitlikten

4\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0

denklemine ulaşılır. Buradan

\cos(2x) = 0

veya

\cos(2x) = 1

olmalıdır.

\cos(2x) = 0

durumundan

[0, \pi]

aralığında

x = \frac{\pi}{4}

x = \frac{3\pi}{4}

kökleri elde edilir ve bu kökler başlangıçtaki ifadenin paydalarını sıfır yapmaz. Ancak

\cos(2x) = 1

durumundan elde edilen

x = 0

x = \pi

kökleri

\sin(x) = 0

yaparak paydayı sıfır yaptığından tanımsızlığa yol açar. Bu yüzden aralıktaki farklı köklerin sayısı 2'dir.

Payları eşitleyerek sol tarafı tek bir kesir olarak yazın ve pay/payda kısımlarında trigonometrik özdeşlikleri uygulayın.

\frac{\sin(4x)}{\frac{\sin(2x)}{2}} = 4\cos^2(2x)

Sol taraftaki iki rasyonel ifadeyi tek bir terim haline getirmek ve sadeleştirme yapabilmek için.

Pay kısmındaki

\sin(4x)

ifadesini yarım açı formülüyle açarak sadeleştirme yapın.

4\cos(2x) = 4\cos^2(2x)

(Burada

\sin(2x) \neq 0

olmalıdır)

İfadeyi daha basit bir trigonometrik denklem formuna dönüştürmek için.

Denklemi çarpanlarına ayırarak çözün.

4\cos(2x)(\cos(2x) - 1) = 0

Çarpanların her birini sıfıra eşitleyerek olası kök adaylarını bulmak için.

Bulunan kök adaylarının tanım kümesine uygunluğunu denetleyin ve

[0, \pi]

aralığındaki kök sayısını belirleyin.

x = \frac{\pi}{4}

x = \frac{3\pi}{4}

geçerli köklerdir.

x = 0

x = \pi

ise paydayı sıfır yaptığından elenir. Toplam kök sayısı 2'dir.

Rasyonel ifadeler içeren denklemlerde paydayı sıfır yapan değerlerin kök olamayacağını kontrol etmek için.

Trigonometrik Denklemlerin Çözümü ve Tanım Kümesi Kontrolü

Tahmini Süre:2m 30s

Soru