Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

kk bir gerçel sayı olmak üzere, R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} kümesi üzerinde tanımlı ff fonksiyonu

f(x)={∣x2−1∣x−1+3x,x<1x2−3x+2x−1+k,x>1f(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - 1|}{x - 1} + 3x, & x < 1 \\ \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1} + k, & x > 1 \end{cases}

biçiminde tanımlanıyor.

lim⁡x→1f(x)\lim_{x \to 1} f(x) limiti var olduğuna göre, kk değeri kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

k = 2
Limitin varlığı için kritik nokta olan x=1x = 1 civarında sağdan ve soldan limitlerin eşitliği ilkesi kullanılmış, mutlak değer ve çarpanlara ayırma işlemleriyle belirsizlikler giderilerek kk parametresi 22 olarak bulunmuştur.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limit değerinin hesaplanması
\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1
x<1x < 1 için x2<1x^2 < 1 olup x2−1<0x^2 - 1 < 0 elde edilir. Bu nedenle ∣x2−1∣=−(x2−1)=−(x−1)(x+1)|x^2 - 1| = -(x^2 - 1) = -(x - 1)(x + 1) olarak dışarı çıkar. Pay ve paydadaki (x−1)(x - 1) terimleri sadeleştiğinde geriye −(x+1)+3x-(x + 1) + 3x kalır. x→1−x \to 1^- için limit değeri −(1+1)+3(1)=1-(1 + 1) + 3(1) = 1 olur.
2
Sağ limit değerinin hesaplanması
\lim_{x \to 1^+} f(x) = k - 1
x>1x > 1 için rasyonel ifadedeki pay kısmı x2−3x+2=(x−1)(x−2)x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Pay ve paydadaki (x−1)(x - 1) terimleri sadeleştiğinde geriye x−2+kx - 2 + k kalır. x→1+x \to 1^+ için limit değeri 1−2+k=k−11 - 2 + k = k - 1 olur.
3
Limitin varlık şartının uygulanması
k = 2
x=1x = 1 noktasında limitin var olması için sağdan ve soldan limitlerin birbirine eşit olması gerekir. Buradan 1=k−11 = k - 1 eşitliği kurularak k=2k = 2 bulunur.

Anahtar Kavram

Parçalı fonksiyonların kritik noktalardaki limitinin varlığı için sağdan ve soldan limitlerin eşit olması gerekir. Mutlak değerli ifadelerin limiti hesaplanırken limit noktasının civarındaki işaret analizi kritik önem taşır.
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru