Examkin

Soru

Zorluk: KolayFonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

f:[−1,4]→Rf: [-1, 4] \rightarrow \mathbb{R} olmak üzere,

f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5

fonksiyonunun alabileceği en küçük değer kaçtır?

  1. A
    1
  2. 4Cevap
  3. C
    5
  4. D
    8
  5. E
    13

Cevap

Dört
Fonksiyonun alabileceği en küçük değer, tanım kümesi içerisindeki tepe noktasının ordinatıdır. f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 fonksiyonunun tepe noktası apsisi r=1r = 1 olup bu değer [−1,4][-1, 4] aralığındadır. Bu noktadaki fonksiyon değeri f(1)=4f(1) = 4 olduğundan en küçük değer dörttür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen f(x)=x2−2x+5f(x) = x^2 - 2x + 5 parabolünün tepe noktasının apsisini (rr) hesaplayalım.
r=−b2a=−−22⋅1=1r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1 bulunur.
Bir parabolün en büyük veya en küçük değeri, eğer tanım kümesi içinde yer alıyorsa, tepe noktasında oluşur.
2
Bulunan tepe noktası apsisi olan r=1r = 1 değerinin tanım kümesi olan [−1,4][-1, 4] aralığında olup olmadığını kontrol edelim.
1∈[−1,4]1 \in [-1, 4] olduğu için fonksiyon bu noktada en küçük değerini alabilir.
Tepe noktası tanım aralığının dışındaysa, en küçük değer aralığın uç noktalarında aranmalıdır.
3
Tepe noktasının ordinatını (k=f(r)k = f(r)) ve aralığın uç noktalarındaki değerleri (f(−1)f(-1) ve f(4)f(4)) hesaplayıp karşılaştıralım.
f(1)=12−2(1)+5=4f(1) = 1^2 - 2(1) + 5 = 4, f(−1)=(−1)2−2(−1)+5=8f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) + 5 = 8, f(4)=42−2(4)+5=13f(4) = 4^2 - 2(4) + 5 = 13 bulunur.
Bu değerler arasından en küçük olanı fonksiyonun alabileceği en küçük değerdir. Dolayısıyla en küçük değer 44 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Bir parabolün kapalı bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için tepe noktası ve aralığın uç noktaları kontrol edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

Bu konudan daha fazla soru