Examkin

Soru

Zorluk: ZorFonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri
f(x)=∣x2−2x−3∣−2xf(x) = |x^2 - 2x - 3| - 2x

kuralıyla verilen ff fonksiyonunun [−4,4][-4, 4] kapalı aralığında alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?

Cevap: 23

Cevap

Fonksiyonun bu aralıktaki en büyük değeri 29, en küçük değeri ise -6 olup bu değerlerin toplamı 23'tür.
Fonksiyonun [−4,4][-4, 4] aralığındaki davranışı incelendiğinde, mutlak değerin tanımından ötürü fonksiyon parçalı bir yapıya bürünür. Bu aralıktaki yerel ekstremum noktaları ve sınır noktaları kontrol edildiğinde, fonksiyonun alabileceği en büyük değerin x=−4x = -4 için 2929, alabileceği en küçük değerin ise x=3x = 3 için −6-6 olduğu görülür. Bu iki değer toplandığında 2323 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Mutlak değerli ifadenin kritik noktalarını (köklerini) bulma
x2−2x−3=0  ⟹  (x−3)(x+1)=0  ⟹  x=−1x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x - 3)(x + 1) = 0 \implies x = -1 ve x=3x = 3
Mutlak değerin dışına çıkış durumunu belirlemek amacıyla fonksiyonun kritik noktalarını tespit etmek gerekir.
2
Fonksiyonu tanımlı olduğu aralıklara göre parçalı fonksiyon biçiminde yazma
x≤−1x \le -1 veya x≥3x \ge 3 için f(x)=x2−4x−3f(x) = x^2 - 4x - 3; −1<x<3-1 < x < 3 için f(x)=−x2+3f(x) = -x^2 + 3
Farklı aralıklarda fonksiyonun farklı kurallarla davrandığını görerek analiz etmek gerekir.
3
Birinci parçanın (x≤−1x \le -1 veya x≥3x \ge 3) aralık uçlarındaki ve tepe noktasındaki değerlerini inceleme
f(−4)=29f(-4) = 29, f(−1)=2f(-1) = 2, f(3)=−6f(3) = -6, f(4)=−3f(4) = -3. Tepe noktası x=2x = 2 bu aralıklara ait değildir.
Sınır noktalarındaki değerleri hesaplayarak olası ekstremum adaylarını belirlemek gerekir.
4
İkinci parçanın (−1<x<3-1 < x < 3) tepe noktasını ve değerini inceleme
x=0x = 0 tepe noktası bu aralıktadır ve bu noktada en büyük yerel değer f(0)=3f(0) = 3 olur.
Aralık içinde kalan parabol tepe noktasının fonksiyon değerini hesaplayarak diğer aday ekstremum değerini bulmak gerekir.
5
Tüm aday değerler arasından mutlak maksimum ve mutlak minimum değerleri belirleyip toplama
En büyük değer 2929, en küçük değer −6-6 olup toplamları 29+(−6)=2329 + (-6) = 23 bulunur.
Belirlenen tüm aday değerleri kıyaslayarak en büyük ve en küçük değerlerin toplamını elde etmek gerekir.

Anahtar Kavram

Bir fonksiyonun kapalı bir aralıktaki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerinin belirlenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

Bu konudan daha fazla soru