Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde yer alan tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: 36

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 36'dır.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için iki temel şart sağlanmalıdır: Taban pozitif ve 1'den farklı olmalı (

12 - x > 0 \implies x < 12

12 - x \neq 1 \implies x \neq 11

), logaritması alınan rasyonel ifade sıfırdan büyük olmalıdır (

\frac{x^2-4x-12}{x-3} > 0

). Bu rasyonel ifadenin kökleri

-2, 3, 6

olup yapılan işaret tablosunda ifadenin

(-2, 3) \cup (6, \infty)

aralığında pozitif olduğu görülür. İki şartın kesişimi alındığında en geniş tanım kümesi

(-2, 3) \cup (6, 11) \cup (11, 12)

olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar

-1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10

olup toplamları 36'dır.

Logaritma tabanının pozitif olma ve 1'e eşit olmama şartlarını belirlemek.

x < 12

x \neq 11

Logaritmanın tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır (

12-x > 0 \implies x < 12

12-x \neq 1 \implies x \neq 11

Logaritmanın içinin pozitif olması koşulu için rasyonel ifadenin pay ve paydasının köklerini bulmak.

Payın kökleri:

x = -2, 6

ve paydanın kökü:

x = 3

Rasyonel ifadenin işaretini incelemek için tüm çarpanların köklerini bulmamız gerekir.

İşaret tablosu oluşturarak

\frac{x^2 - 4x - 12}{x - 3} > 0

eşitsizliğinin çözüm kümesini belirlemek.

x \in (-2, 3) \cup (6, \infty)

En sağdaki aralık pozitif işaretle (+) başlar ve her köke gelindiğinde işaret değişir. İfadenin pozitif olduğu bölgeler taranır.

Bulunan iki koşulun kesişimini alarak fonksiyonun en geniş tanım kümesini yazmak.

En geniş tanım kümesi:

(-2, 3) \cup (6, 11) \cup (11, 12)

Hem taban hem de iç kısım şartlarının aynı anda sağlanması gerekir.

Tanım kümesindeki tam sayıları listelemek ve toplamlarını hesaplamak.

Tam sayılar:

-1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10

ve toplamları:

36

(-2, 3)

aralığındaki tam sayılar

-1, 0, 1, 2

iken

(6, 11)

aralığındaki tam sayılar

7, 8, 9, 10

'dur.

x = 11

taban şartından ötürü hariç tutulmuştur. Bu sayıların toplamı

-1 + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 = 36

olur.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalı, logaritması alınan ifade ise sıfırdan büyük olmalıdır.

Soru