Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(0) = 2 f\left(\frac{1}{2}\right) = 8 f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5\neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{0}^{\pi/6} \cos(x) \cdot f'(\sin(x)) \, dx belirli integralinin değeri kaçtır?

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için f(0) = 2 f\… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

f(0) = 2

f\left(\frac{1}{2}\right) = 8

f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 5

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{0}^{\pi/6} \cos(x) \cdot f'(\sin(x)) \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

İntegral

u = \sin(x)

değişken değiştirmesiyle sınırları

[0, 1/2]

olan

\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du

integraline dönüşür. Bu integralin sonucu

f(1/2) - f(0) = 8 - 2 = 6

olarak bulunur.

Değişken değiştirme yöntemini uygulamak için uygun bir dönüşüm belirlenir.

u = \sin(x)

dönüşümü yapılır. Her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = \cos(x) \, dx

elde edilir.

İntegral içindeki

\cos(x) \, dx

ifadesini

du

cinsinden yazarak integrali basitleştirmek amacıyla bu dönüşüm gereklidir.

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan

u

cinsinden güncellenir.

Alt sınır için

x = 0 \implies u = \sin(0) = 0

olur. Üst sınır için

x = \pi/6 \implies u = \sin(\pi/6) = \frac{1}{2}

olur.

Belirli integralde değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

Yeni sınırlarla integral

u

değişkenine bağlı olarak yazılır ve hesaplanır.

\int_{0}^{1/2} f'(u) \, du = [f(u)]_{0}^{1/2} = f\left(\frac{1}{2}\right) - f(0)

elde edilir. Değerler yerine yazıldığında:

8 - 2 = 6

bulunur.

Türevi

f'(u)

olan fonksiyon

f(u)

'dur. Belirli integralin temel teoremine göre sınır değerleri fonksiyonda yerine yazılarak farkı alınır.

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi