İntegrallenebilir bir f fonksiyonu için \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 \int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, \int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx integralinin değeri kaçtır?

İntegrallenebilir bir f fonksiyonu için \int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12 \int_{3}^{7} f(x) \, … — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

İntegrallenebilir bir $f$ fonksiyonu için

\int_{1}^{5} f(x) \, dx = 12

\int_{3}^{7} f(x) \, dx = 18

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx

integralinin değeri kaçtır?

İntegralin değeri

-3

olmalıdır.

İntegralin lineerlik özelliği kullanılarak ifade iki ayrı integrale bölünür. İlk integralde

u = 2x - 1

ve ikinci integralde

v = 2x + 1

değişken değiştirmeleri yapıldığında, diferansiyel terimlerinden gelen

\frac{1}{2}

katsayısı ve güncellenen sınırlar yardımıyla integral

\frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u)\,du - \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v)\,dv

haline gelir. Buradan

\frac{1}{2}(12) - \frac{1}{2}(18) = 6 - 9 = -3

bulunur.

İntegrali belirli integralin lineerlik özelliğini kullanarak iki ayrı integralin farkı şeklinde yazalım.

\int_{1}^{3} [f(2x - 1) - f(2x + 1)] \, dx = \int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx - \int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx

Belirli integralin çıkarma işlemi üzerine dağılma özelliğini uygulayarak her bir terimi ayrı ayrı analiz etmek işlemleri kolaylaştırır.

İlk integral olan

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx

ifadesinde

u = 2x - 1

değişken değiştirmesini yapalım.

du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2}

Sınırların güncellenmesi:
- Alt sınır:

x = 1 \implies u = 2(1) - 1 = 1

- Üst sınır:

x = 3 \implies u = 2(3) - 1 = 5

Böylece integral:

\int_{1}^{3} f(2x - 1) \, dx = \int_{1}^{5} f(u) \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} f(u) \, du = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6

Belirli integralde de��işken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir.

İkinci integral olan

\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx

ifadesinde

v = 2x + 1

değişken değiştirmesini yapalım.

dv = 2 \, dx \implies dx = \frac{dv}{2}

Sınırların güncellenmesi:
- Alt sınır:

x = 1 \implies v = 2(1) + 1 = 3

- Üst sınır:

x = 3 \implies v = 2(3) + 1 = 7

Böylece integral:

\int_{1}^{3} f(2x + 1) \, dx = \int_{3}^{7} f(v) \frac{dv}{2} = \frac{1}{2} \int_{3}^{7} f(v) \, dv = \frac{1}{2} \cdot 18 = 9

İkinci terim için de değişken değiştirme kurallarını ve sınır güncellemesini aynı şekilde uygularız.

Elde edilen integral değerlerini ana denklemde yerine yazarak çıkarma işlemini tamamlayalım.

6 - 9 = -3

Ayrı ayrı hesaplanan integral değerlerinin farkı, soruda istenen nihai sonucu verir.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi ile belirli integralin lineerlik özelliği.