Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Koordinat düzleminde, y=x2−4x+7y = x^2 - 4x + 7 parabolü ile bu parabolü kesmeyen y=2x+ky = 2x + k doğrusu arasındaki en kısa uzaklık 5\sqrt{5} birimdir. Buna göre, kk gerçek sayısı kaçtır?

Cevap: -7

Cevap

Parabolü kesmeyen doğrunun denklemindeki sabit terim olan k gerçek sayısı -7 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Parabole teğet ve verilen doğruya paralel olan doğrunun denklemini yazmak.
Teğet doğrusunun denklemi y=2x+my = 2x + m şeklindedir.
Parabol ile doğru arasındaki en kısa uzaklık, parabolün verilen doğruya paralel olan teğet doğrusu üzerinden hesaplanır.
2
Parabol ile teğet doğrusunun ortak çözüm denklemini oluşturmak ve teğetlik şartını (diskriminantın sıfıra eşitliğini) uygulamak.
x2−4x+7=2x+m  ⟹  x2−6x+(7−m)=0x^2 - 4x + 7 = 2x + m \implies x^2 - 6x + (7 - m) = 0 elde edilir. Bu denklemin diskriminantı Δ=36−4(7−m)=0  ⟹  8+4m=0  ⟹  m=−2\Delta = 36 - 4(7 - m) = 0 \implies 8 + 4m = 0 \implies m = -2 bulunur. Teğet doğrusu y=2x−2y = 2x - 2 yani 2x−y−2=02x - y - 2 = 0 olur.
Bir doğru ile bir parabolün teğet olması için ortak çözüm denkleminin diskriminantı sıfır olmalıdır.
3
Paralel iki doğru arasındaki uzaklık formülünü kullanarak k parametresinin alabileceği değerleri bulmak.
d=∣k−(−2)∣22+(−1)2=∣k+2∣5=5  ⟹  ∣k+2∣=5d = \frac{|k - (-2)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|k + 2|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \implies |k + 2| = 5. Buradan k=3k = 3 veya k=−7k = -7 bulunur.
Paralel iki doğru ax+by+c1=0ax + by + c_1 = 0 ve ax+by+c2=0ax + by + c_2 = 0 arasındaki uzaklık d=∣c1−c2∣a2+b2d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} formülü ile hesaplanır.
4
Bulunan k değerlerinin kesişmeme şartını sağlayıp sağlamadığını kontrol etmek.
k=3k = 3 için doğru ile parabol kesişirken (x2−6x+4=0  ⟹  Δ=20>0x^2 - 6x + 4 = 0 \implies \Delta = 20 > 0), k=−7k = -7 için kesişmezler (x2−6x+14=0  ⟹  Δ=−20<0x^2 - 6x + 14 = 0 \implies \Delta = -20 < 0).
Soruda doğrunun parabolü kesmediği belirtilmiştir.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun birbirine göre durumları ve paralel doğrular arasındaki uzaklık yardımıyla en yakın noktanın analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru