Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeğişken Değiştirme Yöntemi
Sürekli bir ff fonksiyonu için
∫02f(2x) dx=8\int_{0}^{2} f(2x) \, dx = 8
∫13f(x−1) dx=6\int_{1}^{3} f(x-1) \, dx = 6

eşitlikleri veriliyor.
Buna göre,
∫24f(x) dx\int_{2}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

  1. A
    2
  2. B
    6
  3. C
    8
  4. 10Cevap
  5. E
    26

Cevap

10 değerini içeren seçenek doğrudur.
Verilen integrallerde gerekli değişken değiştirmeleri yapılıp sınırlar doğru şekilde güncellendiğinde sırasıyla ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 ve ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 değerleri elde edilir. İstenen integral, bu iki integralin farkı olan ∫24f(x) dx=16−6=10\int_{2}^{4} f(x) \, dx = 16 - 6 = 10 değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
u=2x  ⟹  du=2 dx  ⟹  dx=du2u = 2x \implies du = 2 \, dx \implies dx = \frac{du}{2} ve sınırlar x=0  ⟹  u=0x=0 \implies u=0, x=2  ⟹  u=4x=2 \implies u=4 olur. İntegral: ∫04f(u)du2=8  ⟹  ∫04f(x) dx=16\int_{0}^{4} f(u) \frac{du}{2} = 8 \implies \int_{0}^{4} f(x) \, dx = 16 olarak bulunur.
Verilen integrali f(x) cinsinden ifade etmek için değişken değiştirme yöntemi kullanılır.
2
İkinci integralde değişken değiştirme yöntemini uygulamak.
t=x−1  ⟹  dt=dxt = x-1 \implies dt = dx ve sınırlar x=1  ⟹  t=0x=1 \implies t=0, x=3  ⟹  t=2x=3 \implies t=2 olur. İntegral: ∫02f(t) dt=6  ⟹  ∫02f(x) dx=6\int_{0}^{2} f(t) \, dt = 6 \implies \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 6 olarak bulunur.
İkinci integral ifadesini f(x) cinsinden sadeleştirmek için değişken değiştirme yapılır.
3
Elde edilen integral alanlarını sınır parçalama özelliğine göre birleştirmek.
∫24f(x) dx=∫04f(x) dx−∫02f(x) dx=16−6=10\int_{2}^{4} f(x) \, dx = \int_{0}^{4} f(x) \, dx - \int_{0}^{2} f(x) \, dx = 16 - 6 = 10 bulunur.
İstenen integralin sınırları olan [2, 4] aralığı, [0, 4] ve [0, 2] aralıklarının farkı şeklinde ifade edilebilir.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi ve belirli integralin toplamsal/parçalama özelliğinin kullanılması.
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru