Examkin

Soru

Zorluk: KolayLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡7(5x−x2)f(x) = \log_{7}(5x - x^2) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

Cevap: 10

Cevap

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 10'dur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olması için içi kesinlikle pozitif olmalıdır. 5x−x2>05x - x^2 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi (0,5)(0, 5) açık aralığıdır. Bu aralıkta bulunan tam sayıların (1,2,3,41, 2, 3, 4) toplamı 10 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi şartını uygulamak
5x−x2>05x - x^2 > 0 olmalıdır.
log⁡a(g(x))\log_a(g(x)) fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için g(x)>0g(x) > 0 olmalıdır. Taban olan 7 sayısı zaten pozitif ve 1'den farklı olduğu için sadece bu koşulu incelemek yeterlidir.
2
Eşitsizliğin köklerini bulup en geniş tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi (0,5)(0, 5) açık aralığıdır.
5x−x2=0  ⟹  x(5−x)=05x - x^2 = 0 \implies x(5 - x) = 0 eşitliğinden kökler x=0x = 0 ve x=5x = 5 bulunur. x2x^2 teriminin katsayısı negatif olduğu için işaret tablosuna sağdan eksi ile başlanır ve kökler arasında artı değer elde edilir. Bu nedenle pozitif bölge olan (0,5)(0, 5) aralığı seçilir.
3
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşmak
1+2+3+4=101 + 2 + 3 + 4 = 10
(0,5)(0, 5) açık aralığında bulunan tam sayılar 1,2,31, 2, 3 ve 44'tür.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının sıfırdan büyük ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi