Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Yukarıdaki dik koordinat düzleminde, f(x)=−x2+ax+bf(x) = -x^2 + ax + b parabolü ile bu parabole A(2,k)A(2, k) noktasında teğet olan dd doğrusu verilmiştir.

dd doğrusu koordinat eksenlerini (−1,0)(-1, 0) ve (0,3)(0, 3) noktalarında kesti��ine göre, a⋅ba \cdot b çarpımı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    20
  2. B
    1
  3. -7Cevap
  4. D
    15
  5. E
    21

Cevap

Çarpımın değeri -7 olarak bulunur.
Doğrunun eksenleri kestiği noktalardan denklemi y = 3x + 3 olarak bulunur. Teğet noktası olan A(2, k) doğrunun üzerinde olduğundan k = 9 elde edilir. A(2, 9) noktası parabol üzerinde yerine yazıldığında 2a + b = 13 bağıntısına ulaşılır. Parabol ile doğrunun ortak çözüm denklemi olan x^2 + (3-a)x + (3-b) = 0 denkleminin x = 2 noktasında teğetlikten ötürü çift katlı kökü vardır. Bu durumda ortak çözüm denklemi (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 = 0 olmalıdır. Buradan a = 7 ve b = -1 bulunur. Bu değerlerin çarpımı ise -7 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
d doğrusunun denkleminin yazılması.
d doğrusunun denklemi y = 3x + 3 olarak bulunur.
Eksenleri kestiği noktalar (-1, 0) ve (0, 3) olan doğrunun eğimi m = 3 olup denklemi y = 3x + 3 şeklindedir.
2
Teğet noktası A(2, k)'nin koordinatlarının belirlenmesi.
A(2, 9) noktası elde edilir.
A noktası d doğrusunun üzerinde olduğundan koordinatları doğru denklemini sağlar: k = 3(2) + 3 = 9 olur.
3
A(2, 9) noktasının parabol denkleminde yerine yazılması.
2a + b = 13 denklemi elde edilir.
A(2, 9) noktası parabol üzerinde olduğundan f(2) = 9 olmalıdır. Buradan 9 = -4 + 2a + b elde edilir.
4
Ortak çözüm denkleminden çift katlı kök koşulunun uygulanması.
a = 7 ve b = -1 olarak bulunur.
Parabol ve doğrunun ortak çözümü -x^2 + ax + b = 3x + 3 olup x^2 + (3-a)x + (3-b) = 0 denklemini verir. x = 2 noktasında teğetlik olduğundan bu denklemin (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 = 0 olması gerekir. Katsayıların eşitliğinden a = 7 ve b = -1 bulunur.
5
a ve b değerlerinin çarpılması.
a * b = -7 olarak hesaplanır.
Soruda istenen a * b değerine ulaşmak için bulunan a = 7 ve b = -1 değerleri çarpılır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun teğetlik durumu, ortak çözüm denkleminin diskriminantının sıfıra eşit olması (çift katlı kök) anlamına gelir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru