Her x \in \mathbb{R} için sürekli olan bir f fonksiyonu, f(x) + f(4-x) = 6 \neşitliğini sağlamaktadır. \int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10 olduğuna göre, \int_{1}^{4} f(x) \, dx integralinin değeri kaçtır?

Her x \in \mathbb{R} için sürekli olan bir f fonksiyonu, f(x) + f(4-x) = 6 \neşitliğini sa… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Her $x \in \mathbb{R}$ için sürekli olan bir $f$ fonksiyonu,

f(x) + f(4-x) = 6

eşitliğini sağlamaktadır.

\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10

olduğuna göre,

\int_{1}^{4} f(x) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

Cevap: 8

İntegralin değeri 8 olarak bulunur.

Verilen

f(x) + f(4-x) = 6

fonksiyonel eşitliğinin

[0, 3]

aralığındaki integrali alındığında, belirli integralin lineerlik ve değişken değiştirme özellikleri kullanılarak

\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18

eşitliğine ulaşılır. Burada

\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10

değeri yerine yazıldığında, aranan integralin değeri 8 olarak elde edilir.

Eşitliğin her iki tarafının

[0, 3]

aralığında belirli integralini alın.

\int_{0}^{3} f(x) \, dx + \int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{0}^{3} 6 \, dx = 18

Verilen belirli integral sınırları

[0, 3]

olduğundan, bu aralıkta entegrasyon yaparak verilen bilgileri kullanmayı hedefleriz.

Sol taraftaki ikinci integralde

u = 4-x

değişken değiştirmesini uygulayın.

du = -dx

ve yeni sınırlar:

x = 0 \implies u = 4

x = 3 \implies u = 1

olur.

İntegral sınırlarını hedeflediğimiz

[1, 4]

aralığıyla ilişkilendirmek ve fonksiyonun içini basitleştirmek.

Değişken değiştirmeyi ikinci integrale uygulayarak basitleştirin.

\int_{0}^{3} f(4-x) \, dx = \int_{4}^{1} f(u) (-du) = \int_{1}^{4} f(u) \, du = \int_{1}^{4} f(x) \, dx

Belirli integralin sınır değiştirme özelliği (eksi işaretinin sınırları ters çevirmesi) ve değişken adının integralin değerini etkilememesi.

Elde edilen sonuçları ana denklemde yerine yazarak hedef integrali hesaplayın.

10 + \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 18 \implies \int_{1}^{4} f(x) \, dx = 8

Verilen

\int_{0}^{3} f(x) \, dx = 10

değerini yerine yazarak bilinmeyen integrali çekmek.

Belirli integralde değişken değiştirme (u-ikamesi) yöntemi ve integral sınırlarının güncellenmesi ile integralin lineerlik özellikleri.

Tahmini Süre:2m 0s