\cos^2(x) + \cos^2(2x) + \cos^2(3x) = 1 denkleminin [0, \pi] kapalı aralığındaki farklı ge… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\cos^2(x) + \cos^2(2x) + \cos^2(3x) = 1

denkleminin $[0, \pi]$ kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{3\pi}{2}$
B
$2\pi$
$\frac{5\pi}{2}$ Cevap
D
$3\pi$
E
$\frac{7\pi}{2}$

Cevap

Köklerin toplamı olan

\frac{5\pi}{2}

ifadesi

Denklemin derece düşürme ve toplam-çarpım formülleriyle çözümü sonucunda

[0, \pi]

aralığındaki farklı kökleri

\frac{\pi}{6}

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{2}

\frac{3\pi}{4}

\frac{5\pi}{6}

olarak bulunur. Bu köklerin toplamı

\frac{5\pi}{2}

'dir.

Adım Adım Çözüm

Derece düşürme formüllerini uygulamak.

\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}

\cos^2(3x) = \frac{1 + \cos(6x)}{2}

Derecesi 2 olan terimleri daha kolay çarpanlarına ayırabilmek için birinci dereceden kosinüs ifadelerine dönüştürüyoruz.

Elde edilen ifadeleri denklemde yerine koyup sadeleştirmek.

\frac{1 + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) + \frac{1 + \cos(6x)}{2} = 1

1 + \frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 1

\frac{\cos(6x) + \cos(2x)}{2} + \cos^2(2x) = 0

Denklemin her iki tarafındaki 1 sayıları sadeleşir ve denklem daha yalın bir hale gelir.

Kosinüs toplam-çarpım formülünü uygulamak.

\cos(6x) + \cos(2x) = 2\cos(4x)\cos(2x)

Denklemde yerine koyulduğunda:

\cos(4x)\cos(2x) + \cos^2(2x) = 0

Toplam durumundaki kosinüs terimlerini ortak çarpan parantezine alabilmek amacıyla çarpım biçimine dönüştürüyoruz.

Ortak çarpan parantezine alarak çarpanlara ayırma işlemini tamamlamak.

\cos(2x)(\cos(4x) + \cos(2x)) = 0

\cos(4x) + \cos(2x) = 2\cos(3x)\cos(x)

yazılarak nihai denklem:

2\cos(x)\cos(2x)\cos(3x) = 0

Denklemin sol tarafını tamamen çarpım biçimine getirerek her bir çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitleyip kökleri bulmayı kolaylaştırıyoruz.

[0, \pi]

kapalı aralığındaki kökleri bulmak.

\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

\cos(2x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}

\cos(3x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}, \frac{5\pi}{6}

Çarpanların sıfır olduğu değerleri

[0, \pi]

tanım aralığında hesaplıyoruz.

Kökleri listeleyip toplamak.

Farklı köklerin kümesi:

\left\{\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{6}\right\}

Köklerin toplamı:

\text{Toplam} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{2}

x = \frac{\pi}{2}

kökü iki farklı grupta da çıktığı için yalnızca bir kez toplanmalıdır. Bulunan farklı köklerin toplamını hesaplıyoruz.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin derece düşürme, toplam-çarpım formülleri ve çarpanlara ayırma yöntemiyle çözümü; belirli bir aralıktaki farklı köklerin tespiti.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru