Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti
Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı ve x≠1x \neq 1 için
f(x)=∣x3−1∣−3∣x−1∣(x−1)∣x−1∣f(x) = \frac{|x^3 - 1| - 3|x - 1|}{(x - 1)|x - 1|}
fonksiyonu veriliyor. Buna göre, ff fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki limitinin varlığı ve değeri ile ilgili verilen 'lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3' ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen limit ifadesi doğrudur. Fonksiyonunun x=1x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitleri eşit olup 33'tür.
Fonksiyonun x=1x = 1 noktasındaki sağdan ve soldan limitleri hesaplandığında, mutlak değerli terimlerin işaretleri doğru analiz edilip sadeleştirmeler yapıldığında her iki yönden limit değeri 33 olarak bulunur. Dolayısıyla verilen limit ifadesi doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
x→1+x \to 1^+ için limit incelenir.
x>1x > 1 olduğundan ∣x−1∣=x−1|x - 1| = x - 1 ve ∣x3−1∣=x3−1|x^3 - 1| = x^3 - 1 olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=(x3−1)−3(x−1)(x−1)2f(x) = \frac{(x^3 - 1) - 3(x - 1)}{(x - 1)^2} halini alır. Pay kısmındaki ifade x3−3x+2=(x−1)2(x+2)x^3 - 3x + 2 = (x - 1)^2(x + 2) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan f(x)=(x−1)2(x+2)(x−1)2=x+2f(x) = \frac{(x - 1)^2(x + 2)}{(x - 1)^2} = x + 2 bulunur. Dolayısıyla lim⁡x→1+f(x)=1+2=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = 1 + 2 = 3 olur.
Sağdan yaklaşırken mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri belirlenerek dışarı çıkarılır.
2
x→1−x \to 1^- için limit incelenir.
x<1x < 1 olduğundan ∣x−1∣=−(x−1)|x - 1| = -(x - 1) ve ∣x3−1∣=−(x3−1)|x^3 - 1| = -(x^3 - 1) olur. Bu durumda fonksiyon f(x)=−(x3−1)−3(−(x−1))−(x−1)2f(x) = \frac{-(x^3 - 1) - 3(-(x - 1))}{-(x - 1)^2} halini alır. Pay kısmı düzenlendiğinde −(x3−3x+2)=−(x−1)2(x+2)-(x^3 - 3x + 2) = -(x - 1)^2(x + 2) elde edilir. Buradan f(x)=−(x−1)2(x+2)−(x−1)2=x+2f(x) = \frac{-(x - 1)^2(x + 2)}{-(x - 1)^2} = x + 2 bulunur. Dolayısıyla lim⁡x→1−f(x)=1+2=3\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 2 = 3 olur.
Soldan yaklaşırken mutlak değer içindeki ifadelerin işaretleri belirlenerek dışarı çıkarılır.
3
Sağ ve sol limitler karşılaştırılarak sonuç belirlenir.
lim⁡x→1+f(x)=lim⁡x→1−f(x)=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 3 olduğundan, f(x)f(x) fonksiyonunun x=1x = 1 noktasında limiti vardır ve lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x \to 1} f(x) = 3'tür.
Bir noktadaki sağ ve sol limitler birbirine eşit ise o noktada limit vardır ve bu ortak değere eşittir.

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değer içeren rasyonel ifadelerde sağdan ve soldan limit incelemesi ile belirsizlik giderme.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru