Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Denklemler
aa pozitif bir gerçel sayı olmak üzere,
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)=a⋅sin⁡(2x)\sin^4(x) + \cos^4(x) = a \cdot \sin(2x)
denkleminin gerçel sayılar kümesinde en az bir kökünün bulunmasını sağlayan en küçük aa değerinin 12\frac{1}{2} olduğu ifadesi doğru mudur?

Cevap: Cevap

Cevap

En küçük pozitif gerçel a parametresinin 1/2 olduğu ifadesi doğrudur.
Denklem ikinci dereceden bir cebirsel denkleme dönüştürüldüğünde, sinüs fonksiyonunun değer aralığı kısıtlaması göz önüne alınarak yapılan kök analizi sonucunda, denklemin en az bir gerçel kökünün bulunması için pozitif a parametresinin alabileceği en küçük değerin 1/2 olduğu matematiksel olarak kanıtlanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)\sin^4(x) + \cos^4(x) ifadesini sin⁡(2x)\sin(2x) cinsinden ifade ediniz.
sin⁡4(x)+cos⁡4(x)=(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))2−2sin⁡2(x)cos⁡2(x)=1−12sin⁡2(2x)\sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden yazarak çözülebilir cebirsel bir yapıya dönüştürmek.
2
u=sin⁡(2x)u = \sin(2x) dönüşümü yaparak denklemi uu değişkenine bağlı ikinci dereceden bir denklem olarak düzenleyiniz ve uu için sınırları belirleyiniz.
1−12u2=au  ⟹  u2+2au−2=01 - \frac{1}{2}u^2 = a u \implies u^2 + 2au - 2 = 0 ve x∈Rx \in \mathbb{R} olduğundan −1≤u≤1-1 \le u \le 1 olmalıdır.
Trigonometrik denklemi cebirsel bir denkleme indirgemek ve tanım kümesi kısıtlamas��nı belirlemek.
3
u2+2au−2=0u^2 + 2au - 2 = 0 denkleminin köklerinin çarpımını ve işaretlerini inceleyiniz.
Kökler çarpımı u1⋅u2=−2u_1 \cdot u_2 = -2'dir. Bu durum köklerin zıt işaretli olduğunu ve mutlak değerce çarpımlarının 22 olduğunu gösterir. Dolayısıyla, köklerin ikisi birden [−1,1][-1, 1] aralığında yer alamaz. Denklemin gerçel kökünün olması için köklerden sadece birinin bu aralıkta olması yeterlidir.
Zıt işaretli köklerin hangi koşullarda [−1,1][-1, 1] aralığına düşebileceğini analiz etmek.
4
Pozitif kök olan u2=−a+a2+2u_2 = -a + \sqrt{a^2 + 2} değerinin 0<u2≤10 < u_2 \le 1 aralığında olması koşulunu çözünüz.
−a+a2+2≤1  ⟹  a2+2≤a+1-a + \sqrt{a^2 + 2} \le 1 \implies \sqrt{a^2 + 2} \le a + 1. Her iki tarafın karesi alındığında a2+2≤a2+2a+1  ⟹  2a≥1  ⟹  a≥12a^2 + 2 \le a^2 + 2a + 1 \implies 2a \ge 1 \implies a \ge \frac{1}{2} bulunur.
Pozitif kökün sinüs sınır değerini aşmaması için gereken parametre aralığını belirlemek.
5
Negatif kök olan u1=−a−a2+2u_1 = -a - \sqrt{a^2 + 2} değerinin −1≤u1<0-1 \le u_1 < 0 aralığında olması koşulunu çözünüz ve sonuçları birleştiriniz.
−1≤−a−a2+2  ⟹  a2+2≤1−a-1 \le -a - \sqrt{a^2 + 2} \implies \sqrt{a^2 + 2} \le 1 - a. Her iki tarafın karesi alındığında a2+2≤1−2a+a2  ⟹  2a≤−1  ⟹  a≤−12a^2 + 2 \le 1 - 2a + a^2 \implies 2a \le -1 \implies a \le -\frac{1}{2} bulunur. Soruda aa pozitif gerçel sayı olarak verildiğinden a≥12a \ge \frac{1}{2} koşulu geçerlidir. Dolayısıyla en küçük aa değeri 12\frac{1}{2}'dir.
Tüm olası çözümleri birleştirerek pozitif aa parametresi için en küçük değeri kesinleştirmek.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerin ikinci dereceden denklemlere dönüştürülmesi ve köklerin tanım kümesi sınırlarına göre analiz edilmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru