Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorParçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

aa ve bb sıfırdan farklı birer gerçel sayı olmak üzere, gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı

f(x)={∣x2−a2∣x−a+2b,x<ax2−(b+2)x+2b∣x−2∣,x>af(x) = \begin{cases} \frac{|x^2 - a^2|}{x - a} + 2b & , \quad x < a \\ \frac{x^2 - (b+2)x + 2b}{|x - 2|} & , \quad x > a \end{cases}

fonksiyonunun x=ax = a noktasında limiti vardır.

Buna göre,

I. a⋅b>0a \cdot b > 0 ise a=ba = b dir.
II. a<0a < 0 ise lim⁡x→af(x)=43b\lim_{x \to a} f(x) = \frac{4}{3}b dir.
III. b>0b > 0 dır.

ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?

  1. A
    I ve II
  2. B
    I ve III
  3. C
    II ve III
  4. I, II ve IIICevap
  5. E
    Yalnız I

Cevap

Verilen öncüllerin üçü de daima doğrudur. Bu nedenle doğru cevap birinci, ikinci ve üçüncü ifadeleri içeren seçenektir.
Limit varlığı koşulu gereği x=ax=a noktasındaki sağ ve sol limitlerin eşitliğinden yola çıkılarak parametreler incelenmiştir. Yapılan analiz sonucunda a>0a > 0 için a=ba = b eşitliği ve a<0a < 0 için b=−3ab = -3a bağıntısı elde edilmiştir. Bu bağıntılar kapsamında, aa ve bb aynı işaretli ise a=ba = b olmak zorundadır, çünkü zıt işaretli oldukları tek durum a<0a < 0 durumudur. Dolayısıyla birinci ifade doğrudur. a<0a < 0 durumunda limit değeri b−a=−3a−a=−4ab - a = -3a - a = -4a olup a=−b/3a = -b/3 yazılırsa limit değeri 4b/34b/3 olarak bulunur. Dolayısıyla ikinci ifade doğrudur. Her iki durumda da bb parametresi daima pozitif değerler almaktadır, bu sebeple üçüncü ifade de doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Sol limitin (x→a−x \to a^-) belirlenmesi.
a>0a > 0 ise sol limit −2a+2b-2a + 2b; a<0a < 0 ise sol limit 2a+2b2a + 2b olur.
x→a−x \to a^- için x<ax < a dır. a>0a > 0 ise xx pozitif değerlerden yaklaşacağından x+a>0x+a > 0 ve x−a<0x-a < 0 olur, dolayısıyla ∣x2−a2∣=−(x2−a2)|x^2-a^2| = -(x^2-a^2) olarak dışarı çıkar. Sadeleşme sonucu limit −2a+2b-2a+2b olur. a<0a < 0 ise xx negatif değerlerden yaklaşacağından x+a<0x+a < 0 ve x−a<0x-a < 0 olur, dolayısıyla ∣x2−a2∣=x2−a2|x^2-a^2| = x^2-a^2 olarak dışarı çıkar. Sadeleşme sonucu limit 2a+2b2a+2b olur.
2
Sağ limitin (x→a+x \to a^+) belirlenmesi.
a>2a > 2 ise sağ limit a−ba - b; a<2a < 2 ise sağ limit b−ab - a olur.
x→a+x \to a^+ için x>ax > a dır. Paydaki ifade (x−2)(x−b)(x-2)(x-b) şeklinde çarpanlarına ayrılır. a>2a > 2 ise x>2x > 2 olacağından ∣x−2∣=x−2|x-2| = x-2 olur ve sadeleşme ile limit a−ba-b bulunur. a<2a < 2 ise x<2x < 2 olacağından ∣x−2∣=−(x−2)=2−x|x-2| = -(x-2) = 2-x olur ve sadeleşme ile limit −(a−b)=b−a-(a-b) = b-a bulunur.
3
Limit varlığı koşuluna göre durumların analiz edilmesi.
a>0a > 0 ise a=ba = b; a<0a < 0 ise b=−3ab = -3a bağıntıları elde edilir.
x=ax = a noktasında limitin var olması için sol ve sağ limitlerin eşit olması gerekir. a>2a > 2 ise a−b=−2a+2b  ⟹  a=ba-b = -2a+2b \implies a=b bulunur. 0<a≤20 < a \le 2 ise b−a=−2a+2b  ⟹  a=bb-a = -2a+2b \implies a=b bulunur. Dolayısıyla a>0a > 0 için her durumda a=ba = b dir. a<0a < 0 ise b−a=2a+2b  ⟹  b=−3ab-a = 2a+2b \implies b = -3a bulunur.
4
Elde edilen bağıntılara göre öncüllerin doğruluğunun test edilmesi.
I, II ve III numaralı öncüllerin her birinin doğru olduğu doğrulanır.
I. a⋅b>0a \cdot b > 0 ise aa ile bb aynı işaretlidir. a<0a < 0 durumunda b=−3a>0b = -3a > 0 olup zıt işaretli olduklarından bu durum gerçekleşmez. O halde a>0a > 0 olmalıdır, bu durumda da a=ba = b dir (Doğru). II. a<0a < 0 ise b=−3a  ⟹  a=−b/3b = -3a \implies a = -b/3 tür. Bu durumda limit değeri sağ limit olan b−a=b−(−b/3)=4b/3b - a = b - (-b/3) = 4b/3 olur (Doğru). III. a>0a > 0 ise b=a>0b = a > 0 dır. a<0a < 0 ise b=−3a>0b = -3a > 0 dır. Her iki durumda da b>0b > 0 sağlanır (Doğru).

Anahtar Kavram

Parçalı ve mutlak değerli fonksiyonların kritik noktalarındaki limit incelemelerinde, yaklaşım yönüne göre mutlak değerin içerisindeki ifadenin işareti doğru belirlenmeli ve sağ-sol limitler birbirine eşitlenmelidir.
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parçalı ve Mutlak Değer Fonksiyonlarının Limiti

Bu konudan daha fazla soru