Kütleleri M, yarıçapları R olan homojen içi boş bir silindir ile homojen içi dolu bir sili… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Kütleleri $M$ , yarıçapları $R$ olan homojen içi boş bir silindir ile homojen içi dolu bir silindir, yatay bir düzlemde kaymadan dönerek öteleme hareketi yapmaktadır. Silindirlerin kütle merkezlerinin çizgisel hız büyüklükleri birbirine eşittir.

Buna göre, bu silindirlerin hareketleriyle ilgili;

I. İçi boş silindirin dönme kinetik enerjisi, içi dolu silindirin dönme kinetik enerjisinin $2$ katıdır.
II. İçi boş silindirin toplam kinetik enerjisi, içi dolu silindirin toplam kinetik enerjisinden büyüktür.
III. Silindirlerin kütle merkezlerine göre açısal momentumlarının büyüklükleri birbirine eşittir.

yargılarından hangileri doğrudur?
(İçi boş silindirin eylemsizlik momenti $I_{\text{boş}} = MR^2$ , içi dolu silindirin eylemsizlik momenti $I_{\text{dolu}} = \frac{1}{2}MR^2$ ’dir.)

A
Yalnız I
B
Yalnız II
I ve IICevap
D
I ve III
E
I, II ve III

Cevap

I ve II

Aynı çizgisel hızla kaymadan dönen silindirlerin açısal hızları da eşittir. Eylemsizlik momenti daha büyük olan içi boş silindirin dönme kinetik enerjisi ve buna bağlı olarak toplam kinetik enerjisi daha büyüktür. Bu nedenle 'I ve II' yargıları doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Dönme kinetik enerjilerini karşılaştırma

İçi boş silindirin dönme kinetik enerjisi, içi dolu silindirin dönme kinetik enerjisinin

2

katıdır (Birinci öncül doğrudur).

Silindirlerin açısal hızları

\omega = \frac{v}{R}

olup eşittir. Dönme kinetik enerjisi formülü

E_d = \frac{1}{2}I\omega^2

kullanıldığında, içi boş silindir için

E_{d,\text{boş}} = \frac{1}{2}MR^2\omega^2 = \frac{1}{2}Mv^2

ve içi dolu silindir için

E_{d,\text{dolu}} = \frac{1}{4}MR^2\omega^2 = \frac{1}{4}Mv^2

elde edilir.

Toplam kinetik enerjileri karşılaştırma

İçi boş silindirin toplam kinetik enerjisi, içi dolu silindirin toplam kinetik enerjisinden büyüktür (İkinci öncül doğrudur).

Toplam kinetik enerji, öteleme (

E_o = \frac{1}{2}Mv^2

) ve dönme kinetik enerjilerinin toplamıdır. İçi boş silindirin toplam enerjisi

E_{\text{top,boş}} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{2}Mv^2 = Mv^2

iken içi dolu silindirin toplam enerjisi

E_{\text{top,dolu}} = \frac{1}{2}Mv^2 + \frac{1}{4}Mv^2 = \frac{3}{4}Mv^2

olur.

Kütle merkezine göre açısal momentumları karşılaştırma

Silindirlerin kütle merkezlerine göre açısal momentumları eşit değildir (Üçüncü öncül yanlıştır).

Açısal momentum

L = I\omega

bağıntısıyla bulunur. Silindirlerin açısal hızları eşit olsa da eylemsizlik momentleri farklı (

I_{\text{boş}} = 2I_{\text{dolu}}

) olduğu için açısal momentum büyüklükleri eşit olamaz (

L_{\text{boş}} = 2L_{\text{dolu}}

Anahtar Kavram

Kaymadan dönerek öteleme hareketi yapan cisimlerin toplam kinetik enerjisi, kütle merkezinin öteleme kinetik enerjisi ile dönme kinetik enerjisinin toplamıdır. Açısal momentum ise cismin eylemsizlik momenti ile açısal hızının çarpımına eşittir.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru