\int_{e}^{e^2} \frac{\ln(x) \cdot \ln(\ln(x)) + 1}{x \ln(x)} \, dx integralinin değeri aşa… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{e}^{e^2} \frac{\ln(x) \cdot \ln(\ln(x)) + 1}{x \ln(x)} \, dx

integralinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

\ln(8) - 1

Doğru yanıt olan değer,

u = \ln(x)

dönüşümüyle elde edilen

\int_{1}^{2} (\ln(u) + 1/u) \, du

integralinin adım adım çözülmesi ve sınırların

1

2

olarak doğru uygulanması sonucu elde edilir.

İntegrali sadeleştirmek için

u = \ln(x)

değişken değiştirmesini uygulayın.

u = \ln(x)

ise diferansiyel alırsak

du = \frac{1}{x} \, dx

olur.

İntegral içindeki

\ln(x)

\frac{1}{x}

ifadeleri arasındaki türev ilişkisini kullanarak integrali daha basit bir forma dönüştürmek.

Belirli integralin sınırlarını yeni değişken

u

'ya göre güncelleyin.

Alt sınır:

x = e \Rightarrow u = \ln(e) = 1

. Üst sınır:

x = e^2 \Rightarrow u = \ln(e^2) = 2

Değişken değiştirme yapıldığında integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

Elde edilen yeni integrali

u

cinsinden yazın ve sadeleştirin.

\int_{1}^{2} \frac{u \cdot \ln(u) + 1}{u} \, du = \int_{1}^{2} \left(\ln(u) + \frac{1}{u}\right) \, du

Payı paydaya bölerek integrali alınabilir iki basit terimin toplamı şeklinde yazmak.

Her bir terimin integralini alarak antiderivatifini bulun.

\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u

\int \frac{1}{u} \, du = \ln(u)

. Birleştirildiğinde:

F(u) = u \ln(u) - u + \ln(u)

olur.

Temel integral alma kurallarını uygulayarak integralin belirsiz formunu bulmak.

Sınır değerlerini yerine yazarak belirli integralin sonucunu hesaplayın.

F(2) - F(1) = (2 \ln(2) - 2 + \ln(2)) - (1 \ln(1) - 1 + \ln(1)) = (3 \ln(2) - 2) - (-1) = 3 \ln(2) - 1 = \ln(8) - 1

Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli integralin sayısal değerini bulmak.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların da yeni değişkene göre güncellenmesi gerekir. Ayrıca

\int \ln(u) \, du = u \ln(u) - u + C

temel integral formülü kullanılır.

Soru