Analitik düzlemde, y = x^2 - 2x - 2 parabolü ile y = 2x + m doğrusunun kesişim noktaları A… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 2x - 2$ parabolü ile $y = 2x + m$ doğrusunun kesişim noktaları $A$ ve $B$ olarak adlandırılıyor.

Koordinat sisteminin başlangıç noktası $O(0, 0)$ olmak üzere, $OA \perp OB$ olduğuna göre, $m$ gerçek sayısının alabileceği pozitif değer kaçtır?

Cevap: 2

Cevap

Ortak çözüm denkleminin kökleri ve diklik şartı kullanılarak elde edilen ikinci dereceden denklem çözüldüğünde m gerçek sayısının alabileceği pozitif değer 2 olarak bulunur.

Ortak çözüm denkleminden elde edilen apsisler ve ordinatlar arasındaki diklik şartı (

x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0

) uygulandığında

m^2 + 3m - 10 = 0

denklemi elde edilir. Bu denklemin pozitif kökü olan 2 değeri doğru cevaptır.

Adım Adım Çözüm

Parabol ve doğru denklemleri birbirine eşitlenerek ortak çözüm denklemi oluşturulur.

x^2 - 4x - (m+2) = 0

ikinci dereceden denklemi elde edilir.

Kesişim noktalarının apsislerini veren denklemi bulmak için ortak çözüm yapılır.

Ortak çözüm denkleminin kökler toplamı ve kökler çarpımı Vieta formülleriyle ifade edilir.

x_1 + x_2 = 4

x_1 x_2 = -m - 2

Noktaların apsisleri arasındaki cebirsel ilişkileri doğrudan bulabilmek amacıyla kökler toplamı ve çarpımı kullanılır.

Kesişim noktalarının ordinatları (

y_1

y_2

), noktalar doğrunun üzerinde olduğu için doğru denkleminde yerine yazılarak apsisler cinsinden ifade edilir.

y_1 = 2x_1 + m

y_2 = 2x_2 + m

Koordinatlar arasında tek bir değişken türünden ilişki kurabilmek için ordinat değerleri doğrunun denklemine yerleştirilir.

OA \perp OB

diklik şartı koordinatlar cinsinden

x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0

olarak kurulur.

x_1 x_2 + (2x_1 + m)(2x_2 + m) = 0 \implies 5x_1 x_2 + 2m(x_1 + x_2) + m^2 = 0

denklemi elde edilir.

İki vektörün dik olması, analitik düzlemde bu vektörlerin bileşenlerinin iç çarpımının sıfır olması şartına bağlıdır.

Kökler toplamı ve çarpımı değerleri diklik denkleminde yerine yazılır ve oluşan

m

'ye bağlı denklem çözülür.

m^2 + 3m - 10 = 0 \implies (m+5)(m-2) = 0 \implies m = 2

veya

m = -5

m parametresinin alabileceği değerleri bulmak için denklem m cinsinden tek değişkene indirgenir.

Bulunan

m

değerlerinin parabol ve doğrunun kesişmesini sağlayıp sağlamadığı diskriminant kontrolüyle test edilir ve pozitif olan kök seçilir.

\Delta = 4m + 24 > 0

eşitsizliğinden

m > -6

olmalıdır. Hem 2 hem de -5 bu şartı sağlar. Pozitif değer istendiğinden

m = 2

seçilir.

Kesişim noktalarının reel koordinatlara sahip olabilmesi için ortak çözümün diskriminantı pozitif olmalıdır.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun ortak çözüm denkleminin kökleri ile kesişim noktalarının analitik diklik şartı arasındaki ilişki.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru