Sürekli bir f fonksiyonu için \int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx integrali veriliyor. B… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürekli bir

f

fonksiyonu için

\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx

integrali veriliyor.

Buna göre, bu integral aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

İntegralde

u = x^2 - 4

dönüşümü yapıldığında diferansiyel

x \, dx = \frac{1}{2} \, du

olur. Sınırlar ise

x=2

için

u=0

x=5

için

u=21

değerlerine güncellenir. Bu ifadeler yerine koyulup düzenlendiğinde, doğru integral ifadesi elde edilir.

Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel hesaplanır.

u = x^2 - 4

dönüşümü yapılırsa, her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 2x \, dx

ve buradan

x \, dx = \frac{1}{2} \, du

elde edilir.

İntegral içerisindeki

x \, dx

ifadesini yeni değişken

u

türünden yazabilmek için.

Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 2 \implies u = 2^2 - 4 = 0

olur. Üst sınır için

x = 5 \implies u = 5^2 - 4 = 21

olur.

Değişken değiştirildiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.

Bulunan ifadeler integralde yerine yazılır.

\int_{2}^{5} x \cdot f(x^2 - 4) \, dx = \int_{0}^{21} f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(u) \, du

elde edilir. Belirli integralde değişkenin ismi sonucu etkilemediği için bu ifade

\frac{1}{2} \int_{0}^{21} f(x) \, dx

şeklinde yazılabilir.

İntegralin değerini en sade biçimde ifade etmek için.

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi ve sınırların güncellenmesi

Soru