\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx belirli integralinin değeri kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

A
$21$
B
$43$
$7$ Cevap
D
$\frac{7}{3}$
E
$\frac{7}{9}$

Cevap

Belirli integralin değeri 7'dir.

Doğru seçenekte verilen değer,

u = 3x - 2

dönüşümü yapılarak sınırların

u=1

u=4

olarak güncellenmesi ve

dx = \frac{du}{3}

diferansiyeli kullanılarak integralin

\frac{1}{3} \int_{1}^{4} u^2 \, du = 7

olarak hesaplanmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

İntegralde değişken değiştirme yöntemi uygulanır.

u = 3x - 2

dönüşümü yapılır.

Her iki tarafın diferansiyeli alındığında

du = 3 \, dx

ve buradan

dx = \frac{du}{3}

elde edilir.

İntegrali daha kolay hesaplanabilir bir değişkene dönüştürmek için.

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan

u

'ya göre güncellenir.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = 3(1) - 2 = 1

olur. Üst sınır için

x = 2 \implies u = 3(2) - 2 = 4

olur.

Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene uyumlu olması gerektiği için.

Yeni değişken ve sınırlar integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.

\int_{1}^{2} (3x - 2)^2 \, dx = \int_{1}^{4} u^2 \cdot \frac{du}{3} = \frac{1}{3} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{1}^{4} = \frac{1}{9} (4^3 - 1^3) = \frac{63}{9} = 7

elde edilir.

Belirli integralin değerini bulmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ifadesinin doğru yazılması gerekir.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru