Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Denklemler
sin⁡3(x)cos⁡(3x)+cos⁡3(x)sin⁡(3x)=38\sin^3(x)\cos(3x) + \cos^3(x)\sin(3x) = \frac{3}{8} denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm gerçel köklerinin toplamı en sade biçimde aπb\frac{a\pi}{b} radyan olduğuna göre, a+ba + b toplamı kaçtır?

Cevap: 5

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki köklerinin toplamı olan en sade rasyonel çarpanlı ifade 3π2\frac{3\pi}{2} olduğundan, pay ve paydanın toplamı olan a+ba + b değeri 5'tir.
Verilen denklem, cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) açılımları yerine yazılarak düzenlendiğinde sin⁡(4x)=1/2\sin(4x) = 1/2 denklemine indirgenir. x∈[0,π]x \in [0, \pi] kısıtlaması altında 4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında bu denklemi sağlayan 4 farklı kök bulunur. Bu köklerin toplamı 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. En sade biçimde yazıldığında a=3a=3 ve b=2b=2 olup toplamları 5 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Üç kat açı formüllerini kullanarak cos⁡(3x)\cos(3x) ve sin⁡(3x)\sin(3x) terimlerini açmak
Denklemin sol tarafı: sin⁡3(x)(4cos⁡3(x)−3cos⁡(x))+cos⁡3(x)(3sin⁡(x)−4sin⁡3(x))\sin^3(x)(4\cos^3(x) - 3\cos(x)) + \cos^3(x)(3\sin(x) - 4\sin^3(x))
Denklemi tek bir trigonometrik fonksiyona indirgemek için temel açı ilişkilerini kurmak gerekir.
2
Elde edilen ifadeyi ortak paranteze alarak sadeleştirmek
3sin⁡(x)cos⁡(x)(cos⁡2(x)−sin⁡2(x))3\sin(x)\cos(x)(\cos^2(x) - \sin^2(x))
Parantezler dağıtıldığında 4sin⁡3(x)cos⁡3(x)4\sin^3(x)\cos^3(x) terimleri birbirini götürür.
3
Yarım açı formülleriyle ifadeyi sin⁡(4x)\sin(4x) cinsinden yazmak
Sol taraf 34sin⁡(4x)\frac{3}{4}\sin(4x) ifadesine eşitlenir.
sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x) ve cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) bağıntıları ile ifade basitleştirilir.
4
34sin⁡(4x)=38\frac{3}{4}\sin(4x) = \frac{3}{8} temel trigonometrik denklemini çözmek
sin⁡(4x)=12\sin(4x) = \frac{1}{2}
Denklemin her iki tarafı 43\frac{4}{3} ile çarpılarak basit trigonometrik denklem elde edilir.
5
x∈[0,π]x \in [0, \pi] tanım aralığı için 4x4x açısının sınırlarını belirleyip kökleri bulmak
4x∈[0,4π]4x \in [0, 4\pi] aralığında kökler x1=π24x_1 = \frac{\pi}{24}, x2=5π24x_2 = \frac{5\pi}{24}, x3=13π24x_3 = \frac{13\pi}{24}, x4=17π24x_4 = \frac{17\pi}{24} olarak bulunur.
Tanım aralığına uygun tüm köklerin eksiksiz belirlenmesi şarttır.
6
Bulunan tüm kökleri toplayıp aπb\frac{a\pi}{b} formuna getirmek ve a+ba+b değerini hesaplamak
Kökler toplamı =3π2  ⟹  a=3,b=2  ⟹  a+b=5= \frac{3\pi}{2} \implies a=3, b=2 \implies a+b=5
Toplamın en sade rasyonel biçimi elde edilerek istenen katsayılar toplamı hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üç kat açı, yarım açı özdeşlikleri ve değişken değiştirme yöntemleriyle trigonometrik denklemlerin belirli bir aralıktaki köklerinin analizi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru