Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorKütle Çekim Kuvveti ve Yerçekimi İvmesi

Küresel ve kendi içlerinde homojen olan XX ve YY gezegenlerinin merkezlerinden itibaren kütle çekim ivmelerinin uzaklığa bağlı değişim grafiği şekildeki gibidir. XX gezegeninin yarıçapı RR, YY gezegeninin yarıçapı ise 2R2R olup, her iki gezegenin de yüzeyindeki kütle çekim ivmesinin büyüklüğü g0g_0'dır.

Buna göre,

I. XX gezegeninin ortalama özkütlesi, YY gezegeninin ortalama özkütlesinin 22 katıdır.
II. Merkezinden R2\frac{R}{2} uzaklıktaki bir noktada XX gezegeninin oluşturduğu yerçekimi ivmesi, YY gezegeninin oluşturduğu yerçekimi ivmesinin 22 katıdır.
III. Merkezinden 3R3R uzaklıktaki bir noktada YY gezegeninin oluşturduğu yerçekimi ivmesi, XX gezegeninin oluşturduğunun 44 katıdır.

yargılarından hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    I ve II
  3. I, II ve IIICevap
  4. D
    I ve III
  5. E
    II ve III

Cevap

I, II ve III
Gezegenlerin yüzey çekim ivmeleri eşit ve sırasıyla yarıçapları RR ve 2R2R olduğundan, g=K⋅d⋅Rg = K \cdot d \cdot R bağıntısına göre özkütleleri dX=2dYd_X = 2d_Y olur. Bu durumda birinci yargı doğrudur. Merkezden R2\frac{R}{2} uzaklıktaki noktalar her iki gezegenin de içinde yer aldığından, çekim ivmesi doğrusal olarak değişir. Bu uzaklıkta X'in ivmesi yüzey ivmesinin yarısı (g02\frac{g_0}{2}), Y'nin ivmesi ise yüzey ivmesinin dörtte biri (g04\frac{g_0}{4}) olur ve oranları 22 bulunur. Dolayısıyla ikinci yargı doğrudur. Merkezden 3R3R uzaklıktaki noktalar her iki gezegenin de dışında yer aldığından, çekim ivmesi uzaklığın karesiyle ters orantılı azalır. X'in ivmesi g0⋅R2(3R)2=g09g_0 \cdot \frac{R^2}{(3R)^2} = \frac{g_0}{9}, Y'nin ivmesi ise g0⋅(2R)2(3R)2=4g09g_0 \cdot \frac{(2R)^2}{(3R)^2} = \frac{4g_0}{9} olup oranları 44 bulunur. Bu nedenle üçüncü yargı da doğrudur. Sonuç olarak tüm yargılar doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1
Gezegenlerin yüzeylerindeki kütle çekim ivmesi formülü g=K⋅d⋅Rg = K \cdot d \cdot R kullanılarak özkütlelerin oranlanması.
dX=2dYd_X = 2d_Y (X'in özkütlesi Y'ninkinin 2 katıdır, birinci yargı doğrudur).
Yüzey çekim ivmeleri eşit (g0g_0) verilmiştir. Yarıçapı küçük olanın özkütlesi daha büyük olmalıdır.
2
Gezegenlerin içindeki noktalar için kütle çekim ivmesinin uzaklıkla doğru orantılı değişimi (gic\c=K⋅d⋅rg_{iç} = K \cdot d \cdot r) kullanılarak merkezden R2\frac{R}{2} uzaklıktaki ivmelerin bulunması.
gX(R2)=g02g_X(\frac{R}{2}) = \frac{g_0}{2} ve gY(R2)=g04g_Y(\frac{R}{2}) = \frac{g_0}{4} bulunur. Oranları 22 olur (ikinci yargı doğrudur).
R2\frac{R}{2} uzakl��ğı her iki gezegenin de yarıçapından küçük olduğu için iç bölgededir ve ivme doğrusal orantıyla bulunur.
3
Gezegenlerin dışındaki noktalar için kütle çekim ivmesinin uzaklığın karesiyle ters orantılı değişimi (gdıs\c=gyu¨zey⋅Ryu¨zey2r2g_{dış} = g_{yüzey} \cdot \frac{R_{yüzey}^2}{r^2}) kullanılarak merkezden 3R3R uzaklıktaki ivmelerin bulunması.
gX(3R)=g09g_X(3R) = \frac{g_0}{9} ve gY(3R)=4g09g_Y(3R) = \frac{4g_0}{9} bulunur. Y'nin ivmesi X'in 4 katı olur (üçüncü yargı doğrudur).
3R3R uzaklığı her iki gezegenin de dış bölgesinde olduğu için çekim ivmesi dış noktalar için geçerli olan ters kare yasasına göre azalır.

Anahtar Kavram

Gezegenlerin içindeki ve dışındaki kütle çekim ivmesinin uzaklığa bağlı değişimi

Alternatif Yöntem

Alternatif olarak, gezegenlerin kütleleri bulunarak dış noktalardaki çekim ivmeleri genel kütle çekim formülü olan g=G⋅Mr2g = \frac{G \cdot M}{r^2} üzerinden hesaplanabilir. MX=dX⋅VX=2dY⋅43πR3=MM_X = d_X \cdot V_X = 2d_Y \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = M dersek, MY=dY⋅43π(2R)3=8⋅dY⋅43πR3=4MM_Y = d_Y \cdot \frac{4}{3}\pi (2R)^3 = 8 \cdot d_Y \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = 4M olur. Buradan kütle değerleri doğrudan formülde yerine yazılarak hem yüzeydeki hem de dış noktadaki çekim ivmeleri doğrulanabilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kütle Çekim Kuvveti ve Yerçekimi İvmesi

Bu konudan daha fazla soru