Examkin

Soru

Zorluk: KolayTrigonometrik Denklemler
2cos⁡2(x)−cos⁡(x)=02\cos^2(x) - \cos(x) = 0 denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?
  1. A
    π3\frac{\pi}{3}
  2. B
    π2\frac{\pi}{2}
  3. C
    2π3\frac{2\pi}{3}
  4. 5π6\frac{5\pi}{6}Cevap
  5. E
    7π6\frac{7\pi}{6}

Cevap

Köklerin toplamı 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.
Verilen denklem cos⁡(x)\cos(x) ortak parantezine alındığında cos⁡(x)⋅(2cos⁡(x)−1)=0\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0 denklemi elde edilir. Buradan cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2} olur. [0,π][0, \pi] aralığında bu eşitlikleri sağlayan kökler sırasıyla π2\frac{\pi}{2} ve π3\frac{\pi}{3} radyandır. Bu köklerin toplamı ise 5π6\frac{5\pi}{6} radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemi cos⁡(x)\cos(x) ortak parantezine alarak çarpanlarına ayırın.
cos⁡(x)⋅(2cos⁡(x)−1)=0\cos(x) \cdot (2\cos(x) - 1) = 0
Denklemin köklerini kayıpsız bulmak için sadeleştirme yapmak yerine çarpanlara ayırma yöntemi kullanılmalıdır.
2
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek cos⁡(x)\cos(x) değerlerini belirleyin.
cos⁡(x)=0\cos(x) = 0 veya cos⁡(x)=12\cos(x) = \frac{1}{2}
Bir çarpım işleminin sonucunun sıfır olması için çarpanlardan en az birinin sıfır olması gerekir.
3
Elde edilen denklemlerin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki köklerini bulun.
cos⁡(x)=0  ⟹  x=π2\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} ve cos⁡(x)=12  ⟹  x=π3\cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}
[0,π][0, \pi] aralığında kosinüs değeri sıfır olan tek açı π2\frac{\pi}{2}, kosinüs değeri 12\frac{1}{2} olan tek açı ise π3\frac{\pi}{3} radyandır.
4
Bulunan kökleri toplayarak nihai sonuca ulaşın.
π2+π3=5π6\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6}
Soruda [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki tüm farklı gerçel köklerin toplamı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Denklemlerin Çarpanlara Ayırma Yöntemiyle Çözümü
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru