Examkin

Soru

Zorluk: OrtaParabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Dik koordinat düzleminde, y=x2−2xy = x^2 - 2x parabolü ile y=mxy = mx doğrusu farklı iki noktada kesişmektedir. Bu kesişim noktalarının orta noktasının koordinatları toplamı 1515 olduğuna göre, mm değeri kaçtır?

  1. A
    2
  2. 4Cevap
  3. C
    6
  4. D
    8
  5. E
    14

Cevap

4 değeri doğrudur.
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının ortak çözüm denkleminden x1=0x_1 = 0 ve x2=m+2x_2 = m+2 apsis değerleri bulunur. Bu apsislere karşılık gelen ordinatlar sırasıyla y1=0y_1 = 0 ve y2=m(m+2)y_2 = m(m+2) olup, bu noktaların orta noktası M(m+22,m(m+2)2)M\left(\frac{m+2}{2}, \frac{m(m+2)}{2}\right) olur. Koordinatlar toplamı 1515 olarak eşitlendiğinde (m+1)(m+2)=30(m+1)(m+2) = 30 denklemi elde edilir. Bu denklemi sağlayan pozitif tam sayı değeri 44 olduğundan doğru yanıt 44 değerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1
Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının apsislerini bulmak için denklemler birbirine eşitlenir.
x2−2x=mx  ⟹  x2−(m+2)x=0x^2 - 2x = mx \implies x^2 - (m+2)x = 0 denklemi elde edilir.
Kesişim noktalarını veren ortak çözüm denklemini oluşturmak için.
2
Ende edilen ikinci dereceden denklemin kökleri (kesişim noktalarının apsisleri) bulunur.
x(x−(m+2))=0  ⟹  x1=0x(x - (m+2)) = 0 \implies x_1 = 0 ve x2=m+2x_2 = m+2 bulunur.
Kesişim noktalarının koordinatlarını belirlemek amacıyla apsis değerlerine ulaşmak için.
3
Kesişim noktalarının ordinatları, y=mxy = mx doğrusu üzerinde oldukları için denklemde yerine yazılarak bulunur.
A(0,0)A(0, 0) ve B(m+2,m(m+2))B(m+2, m(m+2)) noktaları elde edilir.
Orta noktanın koordinatlarını hesaplayabilmek için kesişim noktalarının tam koordinatlarını bulmak.
4
Kesişim noktalarının orta noktası olan M(x0,y0)M(x_0, y_0) koordinatları hesaplanır.
x0=0+m+22=m+22x_0 = \frac{0 + m + 2}{2} = \frac{m+2}{2} ve y0=0+m(m+2)2=m(m+2)2y_0 = \frac{0 + m(m+2)}{2} = \frac{m(m+2)}{2} elde edilir.
Orta noktanın koordinatlarını iki noktanın aritmetik ortalaması formülüyle bulmak.
5
Orta noktanın koordinatları toplamı 1515 olarak verildiğinden bu değerler toplanıp 1515'e eşitlenir ve mm değeri çözülür.
m+22+m(m+2)2=15  ⟹  (m+1)(m+2)2=15  ⟹  (m+1)(m+2)=30  ⟹  m2+3m−28=0  ⟹  (m−4)(m+7)=0\frac{m+2}{2} + \frac{m(m+2)}{2} = 15 \implies \frac{(m+1)(m+2)}{2} = 15 \implies (m+1)(m+2) = 30 \implies m^2 + 3m - 28 = 0 \implies (m-4)(m+7) = 0 elde edilir. Buradan pozitif mm değeri 44 olarak bulunur.
Verilen koordinat toplamı eşitliğini kullanarak bilinmeyen mm parametresini bulmak.

Anahtar Kavram

Parabol ile doğrunun kesişim noktalarının bulunması ve bu noktaların orta noktasının koordinatlarının analitik olarak hesaplanması.

Alternatif Yöntem

Kirişin orta noktasının koordinatları, doğrudan kökler toplamı formülüyle de bulunabilir. Ortak çözüm denklemi x2−(m+2)x=0x^2 - (m+2)x = 0 olduğuna göre kökler toplamı x1+x2=m+2x_1 + x_2 = m+2 olur. Orta noktanın apsisi x0=x1+x22=m+22x_0 = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{m+2}{2} olur. Orta nokta doğru üzerinde yer aldığından ordinatı y0=m⋅x0=m(m+2)2y_0 = m \cdot x_0 = \frac{m(m+2)}{2} olur. Buradan x0+y0=15x_0 + y_0 = 15 denklemi çözülerek m=4m = 4 bulunur.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Parabol ile Doğrunun Birbirine Göre Durumları

Bu konudan daha fazla soru