Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−1(49−x2)+log⁡2(x2−9)f(x) = \log_{x - 1}(49 - x^2) + \log_{2}(x^2 - 9)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçt��r?

Cevap: 15

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 15'tir.
Verilen fonksiyonun her iki teriminin de aynı anda tanımlı olması için x>1x > 1, x≠2x \neq 2, −7<x<7-7 < x < 7 ve x2>9x^2 > 9 koşullarının hepsi sağlanmalıdır. Bu koşulların ortak kesişimi (3,7)(3, 7) açık aralığıdır. Bu aralıkta yer alan tam sayılar 4, 5 ve 6 olup toplamları 15'tir.

Adım Adım Çözüm

1
İlk logaritma teriminin taban ve argüman koşullarını belirleme.
x>1x > 1, x≠2x \neq 2 ve −7<x<7-7 < x < 7 koşullarından x∈(1,7)∖{2}x \in (1, 7) \setminus \{2\} elde edilir.
Logaritma tabanı sıfırdan büyük ve 1'den farklı, argümanı ise sıfırdan büyük olmalıdır.
2
İkinci logaritma teriminin argüman koşulunu belirleme.
x>3x > 3 veya x<−3x < -3 elde edilir.
Logaritma argümanı sıfırdan büyük olmalıdır (taban olan 2 zaten pozitif ve 1'den farklıdır).
3
Elde edilen tanım aralıklarının kesişimini bulma.
En geniş tanım kümesi (3,7)(3, 7) açık aralığı olarak bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olabilmesi için her iki logaritmik ifadenin de aynı anda tanımlı olması gerekir.
4
Bu aralıktaki tam sayı değerlerini toplayarak sonuca ulaşma.
4+5+6=154 + 5 + 6 = 15 bulunur.
(3,7)(3, 7) aralığındaki tam sayılar 44, 55 ve 66'dır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı, argümanı ise sıfırdan büyük olmalıdır. Birden fazla logaritma içeren fonksiyonlarda en geniş tanım kümesi, her bir terimin tanım kümelerinin kesişimidir.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi