Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÇarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler
Gerçek sayılar kümesinde tanımlı
f(x)=(x+2)⋅(x−3)2⋅(x−5) f(x) = (x + 2) \cdot (x - 3)^2 \cdot (x - 5)
fonksiyonu veriliyor.
Buna göre,
f(x−1)x2−5x+6≤0 \frac{f(x - 1)}{x^2 - 5x + 6} \leq 0
eşitsizliğini sağlayan pozitif xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    10
  2. B
    15
  3. 16Cevap
  4. D
    21
  5. E
    7

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan pozitif tam sayıların toplamı 16'dır.
Eşitsizliği sağlayan aralıklar [−1,2)[-1, 2) ve (3,6](3, 6] olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar 1, 4, 5 ve 6 olup, bunların toplamı 16'dır.

Adım Adım Çözüm

1
f(x−1)f(x - 1) ifadesinin köklerini belirlemek için f(x)f(x) fonksiyonunun köklerini tespit ederiz ve öteleme uygularız.
f(x)f(x) fonksiyonunun kökleri x=−2x = -2, x=3x = 3 (çift katlı kök) ve x=5x = 5 olarak bulunur. f(x−1)f(x - 1) fonksiyonu, f(x)f(x) fonksiyonunun grafiğinin 1 birim sağa ötelenmiş hali olduğundan kökleri de 1 artar. Bu durumda f(x−1)f(x - 1) fonksiyonunun kökleri x=−1x = -1, x=4x = 4 (çift katlı kök) ve x=6x = 6 olur.
Eşitsizliğin pay kısmını oluşturan çarpanların köklerini ve bu köklerin katlılık durumlarını belirlemek için öteleme kuralı uygulanmalıdır.
2
Paydadaki x2−5x+6x^2 - 5x + 6 ifadesinin köklerini buluruz.
x2−5x+6=(x−2)⋅(x−3)x^2 - 5x + 6 = (x - 2) \cdot (x - 3) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Buradan kökler x=2x = 2 ve x=3x = 3 olarak elde edilir. Bu kökler paydayı sıfır yaptığından çözüm kümesine dahil edilemez.
Eşitsizliğin payda kısmını sıfır yapan tanımsızlık noktalarını belirlemek ve bunları çözüm kümesinden hariç tutmak gerekir.
3
Elde edilen tüm kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu hazırlarız.
Sıralı kökler: −1-1 (payın tek katlı kökü), 22 (paydanın tek katlı kökü), 33 (paydanın tek katlı kökü), 44 (payın çift katlı kökü) ve 66 (payın tek katlı kökü).
Eşitsizliğin farklı aralıklardaki işaret değişimlerini sistematik bir şekilde incelemek için tablo oluşturulmalıdır.
4
Eşitsizlik ifadesinin en sağdaki aralıktaki işaretini belirleyip tabloya yerleştiririz.
Hem payın hem de paydanın baş katsayıları pozitif olduğundan, tablonun en sağ bölgesi (x>6x > 6 aralığı) ++ işaretiyle başlar.
İşaret tablosunun yönünü ve başlangıç işaretini belirlemek için en yüksek dereceli terimlerin katsayıları incelenir.
5
Köklerin katlılık durumuna göre işaretleri sağdan sola doğru yerleştiririz.
İşaretlerin aralıklara göre dağılımı şu şekildedir:
- x>6x > 6 için ++
- (4,6)(4, 6) için −- (6 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
- (3,4)(3, 4) için −- (4 çift katlı kök olduğundan işaret değişmez)
- (2,3)(2, 3) için ++ (3 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
- (−1,2)(-1, 2) için −- (2 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
- x<−1x < -1 için ++ (-1 tek katlı kök olduğundan işaret değişir)
Çift katlı köklerde işaretin değişmediği, tek katlı köklerde ise işaretin değiştiği kuralını uygulayarak tüm aralıkların işaretlerini belirlemek gerekir.
6
≤0\leq 0 koşulunu sağlayan çözüm kümesini yazarız.
Çözüm kümesi: S=[−1,2)∪(3,6]S = [-1, 2) \cup (3, 6] olarak bulunur. Payın kökleri olan −1,4,6-1, 4, 6 kümeye dahil edilirken, paydanın kökleri olan 22 ve 33 açık sınır olarak bırakılır.
İfadenin negatif veya sıfır olduğu bölgeleri seçerken, payda köklerinin tanımsızlık yaratması sebebiyle dahil edilmediğinden emin olunmalıdır.
7
Çözüm kümesindeki pozitif tam sayı değerlerini belirler ve toplarız.
[−1,2)[-1, 2) aralığındaki pozitif tam sayı 11 değeridir.
(3,6](3, 6] aralığındaki pozitif tam sayılar ise 44, 55 ve 66 değerleridir.
Toplam: 1+4+5+6=161 + 4 + 5 + 6 = 16 bulunur.
Soru kökünde istenen pozitif tam sayı değerlerinin toplamına ulaşmak için uygun aralıklardaki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerin çözüm kümesini bulmak için fonksiyon ötelemesi, çift katlı kökler ve payda köklerinin tanım kümesi üzerindeki etkileri birlikte analiz edilir.
Bu soruyu puanla

Konular

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru