Analitik düzlemde, y = x^2 - 4x + 5 parabolü ile y = 2x + k doğrusu A ve B noktalarında ke… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Analitik düzlemde, $y = x^2 - 4x + 5$ parabolü ile $y = 2x + k$ doğrusu $A$ ve $B$ noktalarında kesişmektedir.

$[AB]$ kirişinin uzunluğu $6\sqrt{5}$ birim olduğuna göre, $k$ gerçek sayısı ka��tır?

Cevap: 5

Cevap

Doğrunun y-eksenini kestiği noktanın ordinatını belirleyen

k

parametresinin değeri 5 olarak bulunur.

Ortak çözüm denkleminin kökleri

x_1

x_2

olmak üzere, kesişim noktaları arasındaki uzaklık

|AB| = \sqrt{1 + m^2} |x_1 - x_2|

formülüyle pratikçe bulunur. Burada eğim

m = 2

|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4k}

'dir. Uzaklık

6\sqrt{5}

olarak eşitlendiğinde

k = 5

değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Parabol ile doğrunun denklemlerini eşitleyerek ortak çözüm denklemini bulunuz.

x^2 - 6x + (5 - k) = 0

Kesişim noktalarının apsislerini belirleyen ikinci dereceden denklemi elde etmek için.

Ortak çözüm denkleminin kökler farkının mutlak değerini diskriminant yardımıyla ifade ediniz.

|x_1 - x_2| = \sqrt{16 + 4k}

Kesişim noktalarının apsisleri arasındaki mesafeyi

k

parametresine bağlı olarak yazmak için.

Kesişim noktalarının ordinatları arasındaki farkı apsisler farkı cinsinden yazınız.

|y_1 - y_2| = 2|x_1 - x_2|

Noktalar doğru üzerinde olduğundan, ordinatlar farkı apsisler farkı ile doğrunun eğiminin çarpımına eşittir.

İki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanarak

[AB]

kirişinin uzunluğunu

k

cinsinden ifade ediniz.

|AB| = \sqrt{5}|x_1 - x_2| = \sqrt{5}\sqrt{16 + 4k}

Kiriş uzunluğunu veren cebirsel ifadeyi oluşturmak için.

Elde edilen kiriş uzunluğu ifadesini verilen

6\sqrt{5}

değerine eşitleyerek

k

'yi bulunuz.

k = 5

Kiriş uzunluğu şartını sağlayan tek

k

gerçek sayısına ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Bir parabol ile bir doğrunun kesişim noktaları arasındaki uzaklık (kiriş uzunluğu), ortak çözüm denkleminin kökleri ve doğrunun eğimi kullanılarak hesaplanır.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru