Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi

Türevlenebilir bir ff fonksiyonu için f(1)=2f(1) = 2 ve f(5)=8f(5) = 8 eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre,
∫13f′(2x−1)⋅[f(2x−1)]2 dx\int_{1}^{3} f'(2x-1) \cdot [f(2x-1)]^2 \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

  1. A
    168
  2. 84Cevap
  3. C
    623\frac{62}{3}
  4. D
    263\frac{26}{3}
  5. E
    133\frac{13}{3}

Cevap

84 değeri doğrudur.
Dönüşüm u=f(2x−1)u = f(2x-1) olarak seçildiğinde diferansiyel du=2f′(2x−1)dxdu = 2f'(2x-1)dx olur ve integral sınırları x=1x=1 için u=2u=2, x=3x=3 için u=8u=8 olarak güncellenir. Bu durumda integral 12∫28u2du\frac{1}{2} \int_{2}^{8} u^2 du haline gelir ve hesaplandığında 84 değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme dönüşümü belirlenir ve diferansiyel al��nır.
u=f(2x−1)u = f(2x-1) dönüşümü yapıldığında, her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=2⋅f′(2x−1) dxdu = 2 \cdot f'(2x-1) \, dx elde edilir. Buradan f′(2x−1) dx=du2f'(2x-1) \, dx = \frac{du}{2} bulunur.
Verilen integrali u değişkenine bağlı daha kolay çözülebilir bir biçime dönüştürmek için.
2
Belirli integral sınırları yeni değişken u'ya göre güncellenir.
Alt sınır için x=1⇒u=f(2(1)−1)=f(1)=2x = 1 \Rightarrow u = f(2(1)-1) = f(1) = 2 olur. Üst sınır için x=3⇒u=f(2(3)−1)=f(5)=8x = 3 \Rightarrow u = f(2(3)-1) = f(5) = 8 olur.
Değişken değiştirme yapıldığında integralin sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunlu olduğu için.
3
Yeni integral ifadesi oluşturulup hesaplanır.
∫28u2⋅du2=12[u33]28=16(83−23)=16(512−8)=5046=84\int_{2}^{8} u^2 \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{2}^{8} = \frac{1}{6} (8^3 - 2^3) = \frac{1}{6} (512 - 8) = \frac{504}{6} = 84 elde edilir.
İntegral alma kuralları ve belirli integral hesaplama adımları uygulanarak nihai sayısal değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların güncellenmesi ve diferansiyel alırken zincir kuralına (içinin türevine) dikkat edilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru