Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bir teknoloji firması, yeni geliştirdiği bir yapay zekâ modelinin işlem hızını her gün bir önceki güne göre belirli bir oranda artırmaktadır. Modelin nn. gündeki işlem hızı ana_n (GFLOPSGFLOPS cinsinden) dizisi ile modellenmiştir.

Bu dizinin ardışık terimleri arasında her n≥1n \ge 1 pozitif tam sayısı için,
log⁡2(an+1)−log⁡2(an)=1\log_2(a_{n+1}) - \log_2(a_n) = 1
bağıntısı bulunmaktadır.

Modelin 1. günkü işlem hızı 4 GFLOPS4\text{ GFLOPS} olduğuna göre, işlem hızının ilk kez 1024 GFLOPS1024\text{ GFLOPS} değerine ulaştığı gün bu sürecin kaçıncı gün��dür?

  1. A
    8
  2. 9Cevap
  3. C
    10
  4. D
    11
  5. E
    511

Cevap

Modelin işlem hızının ilk kez 1024 GFLOPS1024\text{ GFLOPS} değerine ulaştığı gün geliştirme sürecinin 9. günüdür.
Logaritmik bağıntıdan dizinin ardışık terimlerinin oranı olan ortak çarpan r=2r = 2 olarak elde edilir. İlk terimi a1=4a_1 = 4 olan geometrik dizinin genel terimi an=2n+1a_n = 2^{n+1} şeklinde bulunur. Bu genel terim 10241024 değerine eşitlendiğinde 2n+1=2102^{n+1} = 2^{10} eşitliğinden n=9n = 9 bulunur. Dolayısıyla işlem hızının ilk kez 1024 GFLOPS1024\text{ GFLOPS} değerine ulaştığı gün sürecin 9. günüdür.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen logaritmik bağıntıyı düzenleyerek dizinin ardışık terimleri arasındaki oranı bulunuz.
log⁡2(an+1)−log⁡2(an)=1  ⟹  log⁡2(an+1an)=1  ⟹  an+1an=21=2\log_2(a_{n+1}) - \log_2(a_n) = 1 \implies \log_2\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) = 1 \implies \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2^1 = 2
Logaritmanın çıkarma özelliği (log⁡b(x)−log⁡b(y)=log⁡b(x/y)\log_b(x) - \log_b(y) = \log_b(x/y)) kullanılarak ardışık terimlerin oranı elde edilir.
2
Dizinin türünü belirleyip genel terim formülünü yazınız.
Ardışık terimlerin oranı sabit ve 22 olduğundan, ana_n dizisi ortak çarpanı r=2r = 2 olan geometrik bir dizidir. Genel terimi: an=a1⋅rn−1=4⋅2n−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} = 4 \cdot 2^{n-1}
İlk terimi a1a_1 ve ortak çarpanı rr olan bir geometrik dizinin genel terimi an=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1} formülüyle tanımlanır.
3
Genel terimi üslü sayı kuralları ile düzenleyip an=1024a_n = 1024 denklemini çözünüz.
an=22⋅2n−1=2n+1a_n = 2^2 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}
2n+1=1024  ⟹  2n+1=210  ⟹  n+1=10  ⟹  n=92^{n+1} = 1024 \implies 2^{n+1} = 2^{10} \implies n + 1 = 10 \implies n = 9
İşlem hızının 1024 GFLOPS1024\text{ GFLOPS} değerine ulaştığı günü bulmak için genel terim bu değere eşitlenir.

Anahtar Kavram

Logaritma özellikleri yardımıyla geometrik dizinin ortak çarpanını belirleme ve geometrik dizi genel terimini gerçek hayat problemlerinde uygulama.
Bu soruyu puanla

Konular

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bu konudan daha fazla soru