Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \frac{(x^2 - x - 20) \cdot (x - 2)}{(x^2 - 4x) \cdot (x - 5)^2} \leq 0 \neşitsizliğini sağlayan en büyük pozitif tam sayı ile en küçük iki basamaklı negatif tam sayının toplamı kaçtır?

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı \frac{(x^2 - x - 20) \cdot (x - 2)}{(x^2 - 4x) \cdot (x -… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçek sayılar kümesinde tanımlı

\frac{(x^2 - x - 20) \cdot (x - 2)}{(x^2 - 4x) \cdot (x - 5)^2} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en büyük pozitif tam sayı ile en küçük iki basamaklı negatif tam sayının toplamı kaçtır?

Cevap: -97

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en büyük pozitif tam sayı 2, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı ise -99 olup, bu iki değerin toplamı -97'dir.

Eşitsizlik çarpanlarına ayrılıp sadeleştirildiğinde kökler

-4, 0, 2, 4, 5

olarak bulunur. İşaret tablosu incelendiğinde ifadenin sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıklar

(-\infty, -4] \cup (0, 2] \cup (4, 5)

olur. Bu aralıklardaki en büyük pozitif tam sayı 2, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı ise -99'dur. Toplamları ise -97'dir.

Adım Adım Çözüm

Eşitsizlikteki pay ve paydadaki ifadeleri çarpanlarına ayırma.

Pay:

(x - 5)(x + 4)(x - 2)

, Payda:

x(x - 4)(x - 5)^2

İfadenin köklerini ve işaret tablosundaki sınır noktalarını belirlemek için çarpanlarına ayrılması gerekir.

Köklerin belirlenmesi ve teklik/çiftlik durumlarının incelenmesi.

Kökler:

x = -4

(tek),

x = 0

(tek),

x = 2

(tek),

x = 4

(tek),

x = 5

(tek katlı davranış gösterir ancak paydanın kökü olduğundan tanımsızlık yaratır).

İşaret tablosunda işaretin nerede değişeceğini ve hangi köklerin dahil edilemeyeceğini belirlemek.

İşaret tablosunun oluşturulması ve çözüm aralıklarının bulunması.

Çözüm aralıkları:

(-\infty, -4] \cup (0, 2] \cup (4, 5)

İfadenin sıfıra eşit veya küçük olduğu (

\leq 0

) bölgeleri tespit etmek.

İstenen özel tam sayıların bulunması ve toplanması.

En büyük pozitif tam sayı

2

, en küçük iki basamaklı negatif tam sayı

-99

ve toplamları

2 + (-99) = -97

Soruda tanımlanan koşullara uyan tam sayı değerlerini belirleyip toplamını bulmak.

Anahtar Kavram

Çarpım ve bölüm durumundaki eşitsizliklerde köklerin bulunması, sadeleştirme işlemlerinde payda köklerine dikkat edilmesi ve işaret tablosu oluşturulması.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru