Examkin

Soru

Zorluk: ZorPermütasyon

Bir veri tabanı için 7 haneli bir güvenlik kodu oluşturulacaktır. Bu kodda 1,2,3,4,5,6,71, 2, 3, 4, 5, 6, 7 rakamlarının her biri tam olarak birer kez kullanılacaktır.

Güvenlik kodu oluşturulurken şu kurallara uyulacaktır:
- Tek rakamlar (1,3,5,71, 3, 5, 7), kendi aralarında soldan sağa doğru artan sırada olmalıdır.
- Çift rakamların (2,4,62, 4, 6) herhangi ikisi yan yana gelmemelidir.

Buna göre, bu kurallara uygun kaç farklı güvenlik kodu oluşturulabilir?

  1. 60Cevap
  2. B
    120
  3. C
    210
  4. D
    240
  5. E
    1440

Cevap

Kurallara uygun oluşturulabilecek güvenlik kodu sayısı 60'tır.
Doğru cevap olan 60 seçeneği; tek rakamların kendi aralarındaki sıralanışının tek türlü (1 durum) olması, çift rakamların yan yana gelmemesi için 4 tek rakamın oluşturduğu 5 boşluktan 3 tanesinin seçilmesi (10 durum) ve seçilen bu boşluklara çift rakamların yerleştirilmesi (6 durum) işlemlerinin çarpılmasıyla elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Tek rakamların dizilimini sembolik olarak yerleştirme
Tek rakamlar kendi aralarında soldan sağa doğru artan sırada (1,3,5,71, 3, 5, 7) olmak zorunda olduğundan, dizilimdeki yerleri belirlendiğinde bu sayıların kendi içindeki sırası tektir (1 durum).
Soruda tek rakamların kendi aralarında artan sırada olması istendiği için sıralama sabittir ve ekstra bir permütasyon işlemi gerektirmez.
2
Çift rakamların yerleştirilebileceği boşlukları belirleme
4 tek rakam yan yana dizildiğinde aralarında ve uçlarında toplam 5 adet boşluk oluşur: _T_T_T_T_\_ \text{T} \_ \text{T} \_ \text{T} \_ \text{T} \_
Çift rakamların herhangi ikisinin yan yana gelmemesi için bu boşluklardan seçilecek farklı yerlere yerleştirilmeleri gerekir.
3
Boşluk seçimi ve çift rakamların sıralanması
5 boşluktan çift rakamlar için 3 tanesi (53)=10\binom{5}{3} = 10 farklı şekilde seçilir. Seçilen bu 3 yere 3 farklı çift rakam (2,4,62, 4, 6) kendi aralarında 3!=63! = 6 farklı şekilde sıralanabilir.
Çift rakamlar birbirinden farklı olduğu için seçilen boşluklara farklı sıralamalarla yerleşebilirler.
4
Toplam durum sayısını hesaplama
Toplam durum sayısı: (53)×3!×1=10×6×1=60\binom{5}{3} \times 3! \times 1 = 10 \times 6 \times 1 = 60 olarak bulunur.
Bağımsız seçim ve sıralama adımlarının çarpım kuralı ile birleştirilmesi gerekir.

Anahtar Kavram

Koşullu permütasyon problemlerinde belirli elemanların yan yana gelmemesi durumunda, diğer elemanların oluşturduğu boşluklara yerleştirme yöntemi kullanılır. Belirli elemanların kendi aralarında sıralanışının sabit olması durumunda ise sıralama sayısı 1 olarak alınır.
Bu soruyu puanla

Konular

Permütasyon

Bu konudan daha fazla soru