Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bir öğrenci, yaz tatilinde okuduğu bir kitabın ilk gününden itibaren her gün bir önceki güne göre sabit sayıda sayfa fazla okuyarak bir aritmetik dizi oluşturmuştur. Öğrencinin bu kitaptan 4. gün ve 10. gün okuduğu toplam sayfa sayısı 2424'tür. Bu öğrenci ilk 8 günde toplam 7676 sayfa okuduğuna göre, kitabın ilk günü okuduğu sayfa sayısı aşağ��dakilerden hangisidir?

  1. A
    3
  2. B
    5
  3. 6Cevap
  4. D
    7
  5. E
    8

Cevap

Kitabın ilk günü okunan sayfa sayısı 6'dır.
Doğru cevap olan 6 değeri, aritmetik dizinin genel terim ve ilk n terim toplam formüllerinin doğru bir şekilde kurulup iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözülmesiyle elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Aritmetik dizinin genel terim formülünü (an=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)d) kullanarak 4. ve 10. terimleri a1a_1 (ilk terim) ve dd (ortak fark) cinsinden yazalım.
a4=a1+3da_4 = a_1 + 3d ve a10=a1+9da_{10} = a_1 + 9d olur. Buradan a4+a10=2a1+12d=24a_4 + a_{10} = 2a_1 + 12d = 24 ve sadeleştirildiğinde a1+6d=12a_1 + 6d = 12 denklemi elde edilir.
Verilen günlerdeki sayfa sayılarını dizinin ortak parametreleri cinsinden ifade etmek.
2
Aritmetik dizinin ilk nn terim toplamı formülünü (Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)) kullanarak ilk 8 günün toplamını yazalım.
S8=82(2a1+7d)=4(2a1+7d)=76  ⟹  2a1+7d=19S_8 = \frac{8}{2}(2a_1 + 7d) = 4(2a_1 + 7d) = 76 \implies 2a_1 + 7d = 19 denklemi elde edilir.
Toplam sayfa sayısı bilgisini a1a_1 ve dd parametrelerine bağlı ikinci bir denkleme dönüştürmek.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini yok etme yöntemiyle çözelim.
Birinci denklem 22 ile çarpılırsa 2a1+12d=242a_1 + 12d = 24 olur. Bu denklemden 2a1+7d=192a_1 + 7d = 19 denklemi çıkarıldığında 5d=5  ⟹  d=15d = 5 \implies d = 1 bulunur. d=1d = 1 değeri a1+6d=12a_1 + 6d = 12 denkleminde yerine yazıldığında a1+6=12  ⟹  a1=6a_1 + 6 = 12 \implies a_1 = 6 elde edilir.
İlk gün okunan sayfa sayısı olan a1a_1 değerine ulaşmak.

Anahtar Kavram

Aritmetik dizinin genel terim ve ilk n terim toplamı formüllerinin gerçek hayat problemlerine uygulanması

Alternatif Yöntem

Aritmetik ortalama özelliğini kullanarak a4+a10=2a7=24  ⟹  a7=12a_4 + a_{10} = 2a_7 = 24 \implies a_7 = 12 doğrudan bulunabilir. İlk 8 terimin toplamı S8=4(a1+a8)=76  ⟹  a1+a8=19S_8 = 4(a_1 + a_8) = 76 \implies a_1 + a_8 = 19 olur. a8=a7+d=12+da_8 = a_7 + d = 12 + d olduğundan a1+d=7a_1 + d = 7 elde edilir. a7=a1+6d=12a_7 = a_1 + 6d = 12 denklemi ile ortak çözülerek a1=6a_1 = 6 değerine ulaşılır.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Dizilerin Uygulamaları ve Problemler

Bu konudan daha fazla soru