Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve türevlenebilir bir f fonksiyonu için \b… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı, sürekli ve türevlenebilir bir

f

fonksiyonu için

\begin{aligned} f(1) &= 4 \\ f(2) &= 1 \\ f(3) &= 5 \\ f\left(\frac{3}{2}\right) &= 2 \end{aligned}

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,

\int_{1}^{2} \frac{f'\left(\frac{3}{x}\right) \cdot f\left(\frac{3}{x}\right)}{x^2} \, dx

belirli integralinin değeri kaçtır?

A
$-\frac{7}{2}$
B
$-\frac{5}{2}$
C
$7$
$\frac{7}{2}$ Cevap
E
$\frac{21}{2}$

Cevap

İntegralin doğru değeri yedi bölü iki olarak bulunur.

Doğru seçenekte sunulan yedi bölü iki değeri;

u = 3/x

dönüşümü sonrasında sınırların alt sınır üç ve üst sınır üç bölü iki olarak güncellenmesi, diferansiyel hesabından gelen katsayıların integral dışına doğru aktarılması ve nihayetinde

f(u)f'(u)

ifadesinin ters türevinin doğru hesaplanmasıyla elde edilmektedir.

Adım Adım Çözüm

İntegral ifadesinde değişken değiştirme uygulanır.

u = \frac{3}{x}

dönüşümü seçildiğinde her iki tarafın diferansiyeli alınırsa

du = -\frac{3}{x^2} \, dx \implies \frac{dx}{x^2} = -\frac{du}{3}

eşitliği elde edilir.

İntegral içindeki karmaşık rasyonel ifadeyi basitleştirmek ve integralin kurallara uygun biçimde alınmasını sağlamak için değişken değiştirme yöntemi tercih edilir.

Belirli integralin sınırları yeni değişken olan

u

değerlerine göre dönüştürülür.

Alt sınır için

x = 1 \implies u = \frac{3}{1} = 3

olur. Üst sınır için

x = 2 \implies u = \frac{3}{2}

olur.

Belirli integralde değişken değiştiğinde, integrasyon sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.

Yeni sınır değerleri, değişkenler ve diferansiyel ifadesi integralde yerine yazılır.

\int_{3}^{3/2} f'(u) \cdot f(u) \cdot \left(-\frac{du}{3}\right) = \frac{1}{3} \int_{3/2}^{3} f(u) \cdot f'(u) \, du

integral ifadesi elde edilir.

Diferansiyelden gelen eksi işareti, integralin alt ve üst sınırlarının yerini değiştirerek yönü düzeltmek amacıyla kullanılmıştır.

İntegral alma işlemi tamamlanır ve verilen fonksiyon değerleri yerlerine konularak sonuç hesaplanır.

v = f(u) \implies dv = f'(u) \, du

dönüşümü altında integral

\frac{1}{3} \int f(u) \cdot f'(u) \, du = \frac{1}{3} \cdot \frac{(f(u))^2}{2} = \frac{(f(u))^2}{6}

haline gelir. Sınırlar yerine yazıldığında:

\frac{1}{6} \left[ (f(3))^2 - \left(f\left(\frac{3}{2}\right)\right)^2 \right] = \frac{1}{6} (5^2 - 2^2) = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}

bulunur.

Bulunan ters türev ifadesinde üst sınır olan üç değeri ile alt sınır olan üç bölü iki değeri yerlerine yazılarak belirli integral hesabı tamamlanır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken integral sınırlarının yeni değişkene göre güncellenmesi ve diferansiyel ilişkisindeki katsayıların doğru biçimde integral dışına taşınması gerekir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru