Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeğişken Değiştirme Yöntemi

Gerçel sayılar kümesi üzerinde türevlenebilir bir ff fonksiyonu için
- f(0)=2f(0) = 2
- f(3)=4f(3) = 4
- f(4)=7f(4) = 7
- f(5)=10f(5) = 10

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre,
∫04xx2+9⋅f′(x2+9) dx\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx

integralinin değeri kaçtır?

  1. A
    5
  2. B
    14
  3. 6Cevap
  4. D
    -6
  5. E
    8

Cevap

6
Verilen integralde u=x2+9u = \sqrt{x^2 + 9} dönüşümü uygulandığında du=xx2+9 dxdu = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx elde edilir. İntegral sınırları alt sınır için 33 ve üst sınır için 55 olarak güncellenir. Bu durumda integral ∫35f′(u) du=f(5)−f(3)\int_{3}^{5} f'(u) \, du = f(5) - f(3) şekline dönüşür. Verilen değerler yerine yazıldığında 10−4=610 - 4 = 6 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme için uygun dönüşüm belirlenir ve diferansiyeli alınır.
u=x2+9u = \sqrt{x^2 + 9} dönüşümü yapılırsa her iki tarafın diferansiyeli alınarak du=xx2+9 dxdu = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \, dx elde edilir.
İntegral içindeki ifadenin türevi ile ilişkisini kurarak integrali daha basit bir forma getirmek amacıyla bu dönüşüm tercih edilir.
2
Belirli integralin sınırları yeni değişkene göre güncellenir.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=02+9=3x = 0 \implies u = \sqrt{0^2 + 9} = 3 ve üst sınır için x=4  ⟹  u=42+9=5x = 4 \implies u = \sqrt{4^2 + 9} = 5 olur.
Değişken değiştiğinde integral sınırlarının da yeni değişkene göre güncellenmesi zorunludur.
3
Yeni sınırlar ve değişkenler integralde yerine yazılarak integral hesaplanır.
∫04xx2+9⋅f′(x2+9) dx=∫35f′(u) du=[f(u)]35=f(5)−f(3)\int_{0}^{4} \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} \cdot f'\left(\sqrt{x^2 + 9}\right) \, dx = \int_{3}^{5} f'(u) \, du = [f(u)]_{3}^{5} = f(5) - f(3) elde edilir.
Değişken değiştirme sonrası elde edilen integral temel integral alma kuralları yardımıyla çözülür.
4
Soruda verilen fonksiyon değerleri yerine yazılarak nihai sonuca ulaşılır.
f(5)−f(3)=10−4=6f(5) - f(3) = 10 - 4 = 6 bulunur.
İntegralin sonucunu sayısal bir değere dönüştürmek için verilen fonksiyon değerleri kullanılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde değişken değiştirme yöntemi uygulanırken sınırların yeni değişkene göre güncellenmesi ve integralin temel teoremi yardımıyla hesaplanması.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru