Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Denklemler
x∈(0,2π)x \in (0, 2\pi) olmak üzere,
cos⁡(2x)−3sin⁡(x)−1=0\cos(2x) - \sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0
denklemini sağlayan farklı xx gerçel sayılarının toplamı kaç radyandır?
  1. A
    3π3\pi
  2. B
    2π2\pi
  3. C
    π\pi
  4. D
    7π3\frac{7\pi}{3}
  5. 4π4\piCevap

Cevap

Denklemin farklı gerçel köklerinin toplamı 4π4\pi radyandır.
Denklemde cos(2x) yerine yarım açı formülüyle 1 - 2sin²(x) yazılıp sadeleştirme yapıldığında, -sin(x)(2sin(x) + √3) = 0 elde edilir. (0, 2π) açık aralığında sin(x) = 0 eşitliğini sadece x = π değeri sağlar. sin(x) = -√3/2 eşitliğini ise sinüsün negatif olduğu üçüncü ve dördüncü bölgelerdeki x = 4π/3 ve x = 5π/3 değerleri sağlar. Bu köklerin toplamı π + 4π/3 + 5π/3 = 4π radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Trigonometrik özdeşlik kullanarak denklemi tek bir fonksiyon cinsinden yazma
cos⁡(2x)=1−2sin⁡2(x)\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x) özdeşliği denklemde yerine yazıldığında 1−2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)−1=01 - 2\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) - 1 = 0 yani −2sin⁡2(x)−3sin⁡(x)=0-2\sin^2(x) - \sqrt{3}\sin(x) = 0 elde edilir.
Denklemi çözebilmek için farklı trigonometrik fonksiyonları tek bir değişken cinsine indirgemek gerekir.
2
Elde edilen denklemi çarpanlarına ayırma
−sin⁡(x)(2sin⁡(x)+3)=0-\sin(x)(2\sin(x) + \sqrt{3}) = 0 elde edilir. Buradan denklemin kökleri için sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 veya sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} olmalıdır.
Çarpım durumundaki ifadelerin sıfıra eşit olması, çarpanlardan en az birinin sıfır olmasını gerektirir.
3
Verilen (0,2π)(0, 2\pi) aralığındaki kökleri bulma
sin⁡(x)=0\sin(x) = 0 için x=πx = \pi'dir (0 ve 2π2\pi açık aralığa dahil değildir).
sin⁡(x)=−32\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} için ise üçüncü ve dördüncü bölgedeki açılar olan x=4π3x = \frac{4\pi}{3} ve x=5π3x = \frac{5\pi}{3} kökleri elde edilir.
Belirtilen sınırlı aralıktaki tüm olası kökleri belirlemek gerekir.
4
Köklerin toplamını hesaplama
π+4π3+5π3=π+3π=4π\pi + \frac{4\pi}{3} + \frac{5\pi}{3} = \pi + 3\pi = 4\pi bulunur.
Soruda istenen toplam değerine ulaşmak için tüm kökler toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemleri yarım açı formülleri kullanarak çarpanlara ayırma yöntemiyle çözme
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru