Examkin

Soru

Zorluk: KolayLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x(16−x2)f(x) = \log_{x}(16 - x^2)

fonksiyonu tanımlanıyor. Buna göre, f(x)f(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesinde bulunan tam sayıların toplamı kaçtır?

  1. A
    4
  2. 5Cevap
  3. C
    6
  4. D
    9
  5. E
    10

Cevap

En geniş tanım kümesinde bulunan tam sayıların toplamı 5'tir.
Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi belirlenirken taban koşulu olan x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 ile logaritma içi koşulu olan 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliklerinin kesişimi alınmalıdır. 16−x2>016 - x^2 > 0 eşitsizliğinden −4<x<4-4 < x < 4 aralığı elde edilir. Bu aralık ile taban koşulları kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi (0,4)∖{1}(0, 4) \setminus \{1\} olur. Bu kümedeki tam sayılar 2 ve 3'tür. Bu sayıların toplamı ise 5'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın tanımlı olma koşullarını belirleme
x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1 olmalıdır.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif bir gerçel sayı olması ve 1'e eşit olmaması gerekir.
2
Logaritmanın içinin tanımlı olma koşulunu belirleme
16−x2>016 - x^2 > 0 olmalıdır.
Logaritması alınan ifadenin daima sıfırdan büyük (pozitif) olması gerekir.
3
Eşitsizliği çözerek aralık bulma
x2<16⇒−4<x<4x^2 < 16 \Rightarrow -4 < x < 4 elde edilir.
Logaritmanın içinin pozitif olduğu x değer aralığını bulmak için eşitsizlik çözülür.
4
Koşulları kesiştirerek tanım kümesini bulma ve tam sayıları toplama
x∈(0,4)∖{1}x \in (0, 4) \setminus \{1\} aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 2 ve 3'tür. Toplamları ise 2+3=52 + 3 = 5 bulunur.
Fonksiyonun tanımlı olduğu en geniş kümeyi belirlemek için taban ve iç koşullarının ortak kesişimi alınır ve bu kümedeki tam sayılar toplanır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise sıfırdan büyük olması gerekir.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi