Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBelirli İntegral ve Özellikleri
Bir ff fonksiyonunun gerçel sayılar kümesinde sürekli olduğu bilinmektedir.
∫−13f(x) dx=8\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = 8
ve
∫13(f(x)−f(2−x)) dx=10\int_{1}^{3} \big(f(x) - f(2-x)\big) \, dx = 10
olduğuna göre, ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integralinin sonucu kaçtır?

Cevap: -1

Cevap

İstenen belirli integralin değeri -1 olarak bulunur.
Verilen birinci integral aralık bölme özelliğiyle ∫−13f(x) dx=∫−11f(x) dx+∫13f(x) dx=8\int_{-1}^{3} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} f(x) \, dx = 8 şeklinde yazılır. İkinci integralde bulunan ∫13f(2−x) dx\int_{1}^{3} f(2-x) \, dx terimi, u=2−xu = 2-x dönüşümü yapıldığında sınırların ters dönmesi ve du=−dxdu = -dx eşitliğindeki eksinin sınırları düzeltmesiyle ∫−11f(x) dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx integraline eşit olur. Bu iki bağıntı ortak çözüldüğünde istenen integralin sonucu -1 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirli integralin aralık bölme özelliğini kullanarak sınırları [−1,1][-1, 1] ve [1,3][1, 3] olarak ayıralım.
A=∫−11f(x) dxA = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx ve B=∫13f(x) dxB = \int_{1}^{3} f(x) \, dx olmak üzere A+B=8A + B = 8 denklemi elde edilir.
İntegrali verilen diğer sınırlarla ilişkilendirmek ve istenen [−1,1][-1, 1] aralığını ortaya çıkarmak için parçalama yapılır.
2
İkinci denklemdeki integralde lineerlik özelliğini kullanalım ve değişken değiştirme uygulayalım.
B−∫13f(2−x) dx=10B - \int_{1}^{3} f(2-x) \, dx = 10 olur. Burada u=2−xu = 2-x dönüşümüyle integral ∫−11f(x) dx=A\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = A biçimine gelir ve B−A=10B - A = 10 denklemi bulunur.
Parantez içindeki 2−x2-x ifadesini sadeleştirmek ve sınırları [−1,1][-1, 1] aralığına taşımak amacıyla değişken değiştirilir.
3
Elde edilen iki bilinmeyenli denklem sistemini çözelim.
A+B=8A + B = 8 ve B−A=10B - A = 10 denklemlerinden A=−1A = -1 olarak hesaplanır.
Ortak çözüm yapılarak doğrudan aranan integralin sayısal değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Belirli integralde aralık bölme ve değişken değiştirme yöntemiyle sınırların güncellenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Belirli İntegral ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru