Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡3(x2−x−12x2−9x+14)+log⁡x(10−x)f(x) = \log_{3}\left(\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14}\right) + \log_{x}(10-x)

fonksiyonunu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

  1. A
    11
  2. B
    18
  3. 20Cevap
  4. D
    30
  5. E
    33

Cevap

Fonksiyonu tanımlı kılan xx tam sayılarının toplamı 20'dir.
Logaritma tanımlılık şartlarından elde edilen x>0x > 0, x≠1x \neq 1, x<10x < 10 ve x2−x−12x2−9x+14>0\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14} > 0 koşullarının ortak çözüm kümesi (2,4)∪(7,10)(2, 4) \cup (7, 10) açık aralıklarının birleşimidir. Bu aralıklardaki tam sayılar sırasıyla 3, 8 ve 9 olup toplamları 20 değerini vermektedir.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma teriminin tanımlı olması için logaritma içinin pozitif olması koşulunu yazma
x2−x−12x2−9x+14>0\frac{x^2 - x - 12}{x^2 - 9x + 14} > 0 eşitsizliği elde edilir.
Logaritma fonksiyonunun tanımı gere��i, içindeki ifadenin daima sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Eşitsizliğin pay ve paydasındaki ifadeleri çarpanlarına ayırarak kökleri bulma
Pay: x2−x−12=(x−4)(x+3)=0  ⟹  x=−3x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3) = 0 \implies x = -3 ve x=4x = 4.
Payda: x2−9x+14=(x−2)(x−7)=0  ⟹  x=2x^2 - 9x + 14 = (x - 2)(x - 7) = 0 \implies x = 2 ve x=7x = 7 kökleri bulunur.
İşaret tablosu oluşturabilmek için pay ve paydanın sıfır noktalarını belirlemek gerekir.
3
Elde edilen köklerle işaret tablosunu oluşturup pozitif bölgeleri belirleme
Birinci terimin en geniş tanım kümesi: x∈(−∞,−3)∪(2,4)∪(7,∞)x \in (-\infty, -3) \cup (2, 4) \cup (7, \infty) olarak bulunur.
Kökler tabloda sıralanıp en sağdan ++ işaretiyle başlanarak işaret değişimi yapıldığında pozitif bölgeler bu şekilde elde edilir.
4
İkinci logaritma terimi olan log⁡x(10−x)\log_{x}(10-x) için tanımlılık koşullarını belirleme
Taban için: x>0x > 0 ve x≠1x \neq 1.
İç kısım için: 10−x>0  ⟹  x<1010 - x > 0 \implies x < 10.
Buradan ikinci terimin tanım kümesi: x∈(0,10)∖{1}x \in (0, 10) \setminus \{1\} olur.
Logaritma fonksiyonunun tabanı pozitif ve 1'den farklı, içi ise pozitif olmak zorundadır.
5
Her iki terimin tanımlı olduğu aralıkların kesişimini alma
((−∞,−3)∪(2,4)∪(7,∞))∩((0,10)∖{1})=(2,4)∪(7,10)\left((-\infty, -3) \cup (2, 4) \cup (7, \infty)\right) \cap \left((0, 10) \setminus \{1\}\right) = (2, 4) \cup (7, 10) aralığı elde edilir.
Toplama işleminin tanımlı olabilmesi için her iki logaritma fonksiyonunun da eş zamanlı tanımlı olması gerekir.
6
Tanım kümesindeki tam sayı değerlerini belirleyip toplama
Aralıktaki tam sayılar 3,83, 8 ve 99'dur. Toplamları ise 3+8+9=203 + 8 + 9 = 20 olur.
Açık aralık uç değerleri (2,4,7,102, 4, 7, 10) tanım kümesine dahil edilmez.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun en geniş tanım kümesi aranırken tabanın pozitif ve 1'den farklı olması, logaritmanın içinin ise sıfırdan büyük olması koşulları aynı anda sağlanmalıdır.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi