Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Denklemler
sin⁡(3x)sin⁡(x)+cos⁡(3x)cos⁡(x)=1\frac{\sin(3x)}{\sin(x)} + \frac{\cos(3x)}{\cos(x)} = 1

denkleminin (0,2π)(0, 2\pi) açık aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kπk\pi radyandır.

Buna göre, kk değeri kaçtır?

Cevap: 4

Cevap

Denklemin verilen aralıktaki gerçel köklerinin toplamı 4\pi radyan olup, k değeri 4 olarak bulunur.
Verilen denklem payda eşitleme ve trigonometrik özdeşlikler yardımıyla sadeleştirildiğinde cos(2x) = 1/4 denklemine indirgenir. Paydayı sıfır yapan sin(2x) = 0 değerleri elendikten sonra, cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki 4 farklı kökü simetri yardımıyla toplandığında 4π elde edilir. Bu nedenle k değeri 4 olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin tanımlı olduğu kümeyi ve paydaları sıfır yapan değerleri belirleyin.
sin(x) ≠ 0 ve cos(x) ≠ 0 olmalıdır. Bu durum sin(2x) ≠ 0 olmasını gerektirir. Dolayısıyla x ≠ π/2, x ≠ π ve x ≠ 3π/2 olmalıdır.
Tanımsızlığa yol açan x değerleri çözüm kümesinden dışlanmalıdır.
2
Sol taraftaki rasyonel ifadeyi payda eşitleyerek sadeleştirin.
Payda eşitleme sonucunda sol taraf [sin(3x)cos(x) + cos(3x)sin(x)] / [sin(x)cos(x)] haline gelir. Toplam formülünden pay sin(4x), yarım açı formülünden payda (1/2)sin(2x) olur. Denklem 2sin(4x) / sin(2x) = 1 biçimine dönüşür. sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x) açılımı yapılıp sin(2x) ≠ 0 koşulu altında sadeleştirme uygulandığında 4cos(2x) = 1 elde edilir.
Trigonometrik toplam ve yarım açı formülleri kullanılarak denklem en sade biçimine getirilir.
3
cos(2x) = 1/4 denkleminin (0, 2π) aralığındaki köklerini bulun.
2x = u değişken değiştirmesi yapıldığında u ∈ (0, 4π) olur. cos(u) = 1/4 denkleminin bu aralıkta 4 kökü vardır: u₁ = θ, u₂ = 2π - θ, u₃ = 2π + θ, u₄ = 4π - θ (burada θ ∈ (0, π/2) ve cos(θ) = 1/4). Buradan x değerleri sırasıyla x₁ = θ/2, x₂ = π - θ/2, x₃ = π + θ/2, x₄ = 2π - θ/2 olarak bulunur. Bu değerlerin hiçbiri dışlanan değerlerle çakışmaz.
cos(2x) = 1/4 denklemini sağlayan açıların simetrik konumları belirlenir.
4
Kökleri toplayıp k değerini elde edin.
Köklerin toplamı (θ/2) + (π - θ/2) + (π + θ/2) + (2π - θ/2) = 4π radyandır. Buradan k = 4 bulunur.
Tüm geçerli köklerin toplamı alınarak kπ ifadesine eşitlenir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde payda sınırlamalarının kontrolü ve simetri yoluyla kökler toplamının bulunması
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru