Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡x−1(x2−4)+log⁡9−x(36−x2)f(x) = \log_{x-1}(x^2 - 4) + \log_{9-x}(36 - x^2)

fonksiyonunu tanımlı yapan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 12

Cevap

Fonksiyonu tanımlı yapan x tam sayılarının toplamı 12'dir.
Fonksiyonun birinci terimi x>2x > 2 için, ikinci terimi ise −6<x<6-6 < x < 6 için tanımlıdır. Her iki aralığın kesişimi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar 3,43, 4 ve 55 olduğundan, toplamları 1212 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Birinci logaritma terimi olan log⁡x−1(x2−4)\log_{x-1}(x^2 - 4) ifadesinin tanımlı olması için gereken şartları belirleyelim.
Taban şartı: x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve x−1≠1  ⟹  x≠2x - 1 \neq 1 \implies x \neq 2.
Argüman şartı: x2−4>0  ⟹  (x−2)(x+2)>0  ⟹  x>2x^2 - 4 > 0 \implies (x - 2)(x + 2) > 0 \implies x > 2 veya x<−2x < -2.
Bu şartların kesişimi alındığında birinci terimin tanım aralığı (2,∞)(2, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, argümanının ise sıfırdan büyük olması gerekir.
2
İkinci logaritma terimi olan log⁡9−x(36−x2)\log_{9-x}(36 - x^2) ifadesinin tanımlı olması için gereken şartları belirleyelim.
Taban şartı: 9−x>0  ⟹  x<99 - x > 0 \implies x < 9 ve 9−x≠1  ⟹  x≠89 - x \neq 1 \implies x \neq 8.
Argüman şartı: 36−x2>0  ⟹  (6−x)(6+x)>0  ⟹  −6<x<636 - x^2 > 0 \implies (6 - x)(6 + x) > 0 \implies -6 < x < 6.
Bu şartların kesişimi alındığında (çünkü (−6,6)(-6, 6) aralığı hem x<9x < 9 şartını sağlar hem de 88 değerini içermez) ikinci terimin tanım aralığı (−6,6)(-6, 6) olarak bulunur.
İlk adımda olduğu gibi taban pozitif ve 1'den farklı, argüman ise sıfırdan büyük olmalıdır.
3
Her iki terimin de aynı anda tanımlı olması için elde edilen tanım aralıklarının kesişimini alalım ve bu aralıktaki tam sayıların toplamını hesaplayalım.
İki tanım kümesinin kesişimi: (2,∞)∩(−6,6)=(2,6)(2, \infty) \cap (-6, 6) = (2, 6) elde edilir.
Bu açık aralıktaki tam sayılar 3,43, 4 ve 55 sayılarıdır.
Bu sayıların toplamı: 3+4+5=123 + 4 + 5 = 12 bulunur.
İki fonksiyonun toplamından oluşan bir fonksiyonun tanım kümesi, toplanan her bir fonksiyonun tanım kümelerinin ara kesitidir.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi bulunurken hem tabanın hem de argümanın bağımsız olarak pozitif olma şartları incelenir; ayrıca taban 1'e eşit olamaz. Toplam biçimindeki fonksiyonlarda ise her bir terimin tanım kümelerinin kesişim kümesi alınır.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi