Examkin

Soru

Zorluk: OrtaLogaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi
f(x)=log⁡12−x(x2−5x−14x−4)f(x) = \log_{12 - x}\left(\frac{x^2 - 5x - 14}{x - 4}\right)

fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 32

Cevap

Fonksiyonun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 32'dir.
Logaritma tanımı gereğince, taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır (12−x>012-x>0 ve 12−x≠1  ⟹  x<1212-x \neq 1 \implies x < 12 ve x≠11x \neq 11). Logaritması alınan ifade de pozitif olmalıdır (x2−5x−14x−4>0\frac{x^2-5x-14}{x-4} > 0). Bu rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesi işaret tablosundan (−2,4)∪(7,∞)(-2, 4) \cup (7, \infty) olarak bulunur. Bu iki koşul kümesinin kesişimi (−2,4)∪(7,12)∖{11}(-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\} aralığını verir. Bu aralıktaki tam sayılar −1,0,1,2,3,8,9,10-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10 olup toplamları 3232'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tabanın pozitiflik ve 1'den farklı olma koşullarını inceleme.
x<12x < 12 ve x≠11x \neq 11
Bir logaritma fonksiyonunda taban pozitif ve 1'den farklı olmalıdır.
2
Logaritması alınan ifadenin köklerini bulma.
Payın kökleri x=−2x = -2 ve x=7x = 7, paydanın kökü x=4x = 4
Eşitsizlik işaret tablosu oluşturabilmek için kritik noktalar belirlenmelidir.
3
Rasyonel ifadenin işaret tablosunu oluşturma ve pozitif bölgeleri belirleme.
x∈(−2,4)∪(7,∞)x \in (-2, 4) \cup (7, \infty)
Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için pozitif olması gerekir.
4
Tüm koşulların kesişimini alarak en geniş tanım kümesini belirleme.
x∈(−2,4)∪(7,12)∖{11}x \in (-2, 4) \cup (7, 12) \setminus \{11\}
Hem tabanın hem de logaritması alınan ifadenin aynı anda tanımlı olması gerekir.
5
Tanım kümesindeki tam sayıları belirleme ve toplama.
Tam sayılar: −1,0,1,2,3,8,9,10-1, 0, 1, 2, 3, 8, 9, 10 ve toplamları: 3232
Soruda istenen en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamıdır.

Anahtar Kavram

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir. Bu koşullar rasyonel eşitsizliklerin işaret incelemesiyle birleştirilerek en geniş tanım kümesi bulunur.
Bu soruyu puanla

Konular

Logaritma Fonksiyonunun Tanımı ve En Geniş Tanım Kümesi