f(x) = \log_{x-1}\left(\frac{-x^2 + 11x - 24}{x^2 - 2x - 3}\right) fonksiyonu tanımlanıyor… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

f(x) = \log_{x-1}\left(\frac{-x^2 + 11x - 24}{x^2 - 2x - 3}\right)

fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun en geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı kaçtır?

En geniş tanım kümesindeki tam sayıların toplamı 22'dir.

Doğru seçenekteki değer, tabanın pozitif ve 1'den farklı olması (

x > 1

x \neq 2

) ile logaritma içindeki ifadenin pozitif olması (

x \in (-1, 8)

x \neq 3

) koşullarının ortak kesişiminden elde edilen 4, 5, 6 ve 7 tam sayılarının toplamıdır.

Taban koşullarının belirlenmesi

x > 1

x \neq 2

Logaritma tanımı gereği taban sıfırdan büyük ve 1'den farklı olmalıdır:

x-1 > 0 \implies x > 1

x-1 \neq 1 \implies x \neq 2

Argüman (logaritma içi) ifadesinin sadeleştirilmesi ve tanımsızlık noktalarının belirlenmesi

x \neq -1

x \neq 3

x \neq 8

Argüman ifadesi

\frac{-(x-3)(x-8)}{(x-3)(x+1)}

olarak çarpanlarına ayrılır. İfadenin tanımlı olması için payda sıfır olmamalıdır (

x \neq -1

x \neq 3

). Ayrıca sınır değerlerin incelenmesi için payı sıfır yapan

x = 8

noktası belirlenir.

Argümanın işaret tablosunun oluşturulması ve eşitsizlik çözümü

x \in (-1, 8) \setminus \{3\}

Payda ve paydaki ortak çarpan

(x-3)

sadeleştirildiğinde,

x \neq 3

koşuluyla argüman

\frac{8-x}{x+1} > 0

eşitsizliğine indirgenir. İşaret tablosu yapıldığında bu eşitsizlik

(-1, 8)

aralığında sağlanır. Tanımsızlık noktası olan

3

bu aralıktan çıkarılmalıdır.

Taban ve argüman koşullarının kesiştirilmesi ve tam sayı değerlerinin bulunması

Tanım kümesi:

(1, 8) \setminus \{2, 3\}

, Toplam: 22

Taban koşulu olan

x \in (1, \infty) \setminus \{2\}

ile argüman koşulu olan

x \in (-1, 8) \setminus \{3\}

kesiştirildiğinde en geniş tanım kümesi

(1, 8) \setminus \{2, 3\}

olarak elde edilir. Bu kümedeki tam sayılar 4, 5, 6, 7 olup toplamları

4+5+6+7=22

bulunur.

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için tabanının pozitif ve 1'den farklı, logaritması alınan ifadenin ise pozitif olması gerekir.

Soru