Examkin

Soru

Zorluk: KolayDeğişken Değiştirme Yöntemi
∫023x2(x3+1)2 dx\int_{0}^{2} 3x^2 (x^3 + 1)^2 \, dx belirli integralinde u=x3+1u = x^3 + 1 değişken değiştirmesi yapılırsa aşağıdaki integrallerden hangisi elde edilir?
  1. A
    ∫02u2 du\int_{0}^{2} u^2 \, du
  2. B
    ∫193u2 du\int_{1}^{9} 3u^2 \, du
  3. ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, duCevap
  4. D
    ∫023u2 du\int_{0}^{2} 3u^2 \, du
  5. E
    ∫13u2 du\int_{1}^{3} u^2 \, du

Cevap

∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du ifadesidir.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü yapıldığında diferansiyel du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx olur. İntegralin sınırları ise alt sınır için x=0  ⟹  u=1x = 0 \implies u = 1 ve üst sınır için x=2  ⟹  u=9x = 2 \implies u = 9 şeklinde güncellenir. Bu dönüşümler integralde yerine yazıldığında integralin yeni biçimi ∫19u2 du\int_{1}^{9} u^2 \, du olur.

Adım Adım Çözüm

1
Değişken değiştirme bağıntısını belirleyip her iki tarafın diferansiyelini alınız.
u=x3+1u = x^3 + 1 dönüşümü için du=3x2 dxdu = 3x^2 \, dx elde edilir.
İntegral içindeki x'e bağlı ifadeleri ve diferansiyeli u cinsinden yazmak için.
2
İntegralin belirli sınırlarını yeni u değişkenine göre hesaplayıp güncelleyiniz.
Alt sınır için x=0  ⟹  u=03+1=1x = 0 \implies u = 0^3 + 1 = 1 olur. Üst sınır için x=2  ⟹  u=23+1=9x = 2 \implies u = 2^3 + 1 = 9 olur.
Belirli integralde değişken değiştiğinde sınır değerlerinin de yeni değişkene uygun hale getirilmesi zorunludur.
3
Elde edilen yeni sınırları ve diferansiyel dönüşümünü integralde yerine yazarak yeni integrali oluşturunuz.
∫02(x3+1)2⋅(3x2 dx)=∫19u2 du\int_{0}^{2} (x^3 + 1)^2 \cdot (3x^2 \, dx) = \int_{1}^{9} u^2 \, du elde edilir.
Tüm dönüşüm adımlarını birleştirerek u değişkenine bağlı eşdeğer belirli integrali yazmak için.

Anahtar Kavram

Belirli İntegralde Değişken Değiştirme Yöntemi ve Sınırların Güncellenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Değişken Değiştirme Yöntemi

Bu konudan daha fazla soru