\frac{(x-3)^3 \cdot (x^2 - 2x - 8)}{(x^2 - 9) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0 \neşitsizliğini sağlayan tüm x pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

\frac{(x-3)^3 \cdot (x^2 - 2x - 8)}{(x^2 - 9) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0 \neşitsizliğini… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\frac{(x-3)^3 \cdot (x^2 - 2x - 8)}{(x^2 - 9) \cdot (x^2 - 4x + 4)} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm

x

pozitif tam sayılarının toplamı kaçtır?

A
7
B
8
5Cevap
D
9
E
10

Cevap

Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayı değerleri 1 ve 4 olup, bu değerlerin toplamı 5'tir.

Eşitsizliğin tablosu yapıldığında negatif veya sıfıra eşit olmasını sağlayan aralıklar

(-\infty, -3) \cup [-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4]

olarak bulunur. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar sadece 1 ve 4 değerleridir. Bu iki değerin toplamı 5 olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

Eşitsizlikteki tüm ifadeleri çarpanlarına ayırarak pay ve paydanın köklerini belirleyin.

Payın kökleri:

(x-3)^3 = 0 \implies x = 3

(katlılığı 3),

x^2 - 2x - 8 = 0 \implies (x-4)(x+2) = 0 \implies x = 4

x = -2

olur. Paydanın kökleri:

x^2 - 9 = 0 \implies (x-3)(x+3) = 0 \implies x = 3

x = -3

x^2 - 4x + 4 = 0 \implies (x-2)^2 = 0 \implies x = 2

(katlılığı 2) olur.

Eşitsizlik tablosu oluşturmak için sınır değerlerini (kökleri) ve bunların katlılık derecelerini belirlemek gerekir.

Köklerin net katlılık derecelerini analiz edin ve paydayı sıfır yapan değerleri çözüm kümesinden hariç tutun.

x = -3

paydanın tek katlı köküdür (hariç tutulur).

x = -2

payın tek katlı köküdür (dahil edilebilir).

x = 2

paydanın çift katlı köküdür (hariç tutulur).

x = 3

hem payın (katlılığı 3) hem de paydanın (katlılığı 1) köküdür. Net katlılığı

3 - 1 = 2

olup çift katlı köktür. Paydada yer aldığı için çözüm kümesinden hariç tutulur.

x = 4

payın tek katlı köküdür (dahil edilebilir).

Çift katlı köklerde işaretin değişmeyeceğini belirlemek ve paydayı sıfır yapan değerlerin tanımsızlık yaratacağını garanti etmek için bu analiz gereklidir.

Kökleri küçükten büyüğe sıralayarak işaret tablosunu oluşturun ve en sağdaki aralığın işaretini belirleyerek sola doğru ilerleyin.

Köklerin sıralaması:

-3 < -2 < 2 < 3 < 4

. En sağdaki aralık olan

(4, \infty)

için işaret belirlenir: İfadelerdeki en yüksek dereceli terimlerin katsayıları çarpımı pozitif olduğu için tablo sağdan "+" ile başlar.

x = 4

(tek katlı)

\implies

işaret "-" olur.

x = 3

(çift katlı)

\implies

işaret değişmez, "-" kalır.

x = 2

(çift katlı)

\implies

işaret değişmez, "-" kalır.

x = -2

(tek katlı)

\implies

işaret "+" olur.

x = -3

(tek katlı)

\implies

işaret "-" olur. İşaret dağılımı:

(-\infty, -3) \rightarrow (-)

(-3, -2] \rightarrow (+)

[-2, 2) \rightarrow (-)

(2, 3) \rightarrow (-)

(3, 4] \rightarrow (-)

[4, \infty) \rightarrow (+)

Eşitsizliğin

\leq 0

olduğu bölgeleri tespit etmek için işaret tablosu gereklidir.

Eşitsizliği sağlayan (

\leq 0

olan) aralıklardaki pozitif tam sayıları belirleyin ve toplamını bulun.

Eşitsizliğin sağlandığı aralıklar:

(-\infty, -3) \cup [-2, 2) \cup (2, 3) \cup (3, 4]

şeklindedir. Bu aralıklardaki pozitif tam sayılar:

[-2, 2)

aralığında sadece

1

vardır (2 tanımsızlık yaptığı için hariç tutulur).

(2, 3)

aralığında pozitif tam sayı yoktur.

(3, 4]

aralığında sadece

4

vardır (3 tanımsızlık yaptığı için hariç tutulur). Eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayılar kümesi

\{1, 4\}

olup toplamları

1 + 4 = 5

olarak bulunur.

Soru bizden eşitsizliği sağlayan pozitif tam sayıların toplamını istediği için bu son hesaplama yapılır.

Anahtar Kavram

Çarpım ve Bölüm Durumundaki Eşitsizliklerin Çözüm Kümeleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru