Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Denklemler
3sin⁡(2x)+cos⁡(2x)=2cos⁡(x)\sqrt{3}\sin(2x) + \cos(2x) = 2\cos(x)

denkleminin [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel köklerinin toplamı kaç radyandır?

  1. A
    4π9\frac{4\pi}{9}
  2. B
    5π9\frac{5\pi}{9}
  3. C
    8π9\frac{8\pi}{9}
  4. 11π9\frac{11\pi}{9}Cevap
  5. E
    4π3\frac{4\pi}{3}

Cevap

11π9\frac{11\pi}{9}
Doğru cevap olan 11π9\frac{11\pi}{9} değeri, verilen denklemin sol tarafının sinüs toplam formülü yardımıyla sin⁡(2x+π6)=sin⁡(π2−x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) biçimine getirilmesiyle bulunur. Bu denklemin genel çözümlerinden [0,π][0, \pi] aralığına uygun olan farklı gerçel kökler π9\frac{\pi}{9}, 7π9\frac{7\pi}{9} ve π3\frac{\pi}{3} olarak elde edilir. Bu değerlerin toplamı 11π9\frac{11\pi}{9} radyandır.

Adım Adım Çözüm

1
Denklemin sol tarafını doğrusal kombinasyon özelliğini kullanarak tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade edelim.
sin⁡(2x+π6)=cos⁡(x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \cos(x)
Eşitliğin sol tarafı 22 parantezine alındığında, 2(32sin⁡(2x)+12cos⁡(2x))=2sin⁡(2x+π6)2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin(2x) + \frac{1}{2}\cos(2x)\right) = 2\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) elde edilir. Her iki taraf 22'ye bölünerek denklem sadeleştirilir.
2
Eşitliğin sağ tarafındaki kosinüs ifadesini tümler açı ilişkisini kullanarak sinüs cinsinden yazalım.
sin⁡(2x+π6)=sin⁡(π2−x)\sin\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)
cos⁡(x)=sin⁡(π2−x)\cos(x) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) özdeşliği sayesinde denklem çözülebilir sinüs eşitliği formuna getirilir.
3
Sinüs denkleminin çözüm kurallarını uygulayarak iki farklı genel çözüm durumunu belirleyelim.
Birinci durum: x=π9+2kπ3x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}
İkinci durum: x=π3+2kπx = \frac{\pi}{3} + 2k\pi (k∈Zk \in \mathbb{Z})
sin⁡(A)=sin⁡(B)\sin(A) = \sin(B) denkleminin genel çözümü A=B+2kπA = B + 2k\pi ve A=π−B+2kπA = \pi - B + 2k\pi durumlarından oluşur.
4
Genel çözümlerde kk yerine tam sayı değerleri vererek [0,π][0, \pi] kapalı aralığındaki farklı gerçel kökleri bulalım ve toplayalım.
Kökler: π9\frac{\pi}{9}, 7π9\frac{7\pi}{9} ve π3\frac{\pi}{3}
Toplam: π9+7π9+3π9=11π9\frac{\pi}{9} + \frac{7\pi}{9} + \frac{3\pi}{9} = \frac{11\pi}{9}
Bulunan genel çözümlerden sadece verilen [0,π][0, \pi] aralığına düşen değerler belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Trigonometrik denklemlerde doğrusal kombinasyonların dönüşümü ve belirli bir aralıktaki köklerin periyodik olarak bulunması.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Denklemler

Bu konudan daha fazla soru